Doti naturāli skaitļi \(k\) un \(n,\ k \leq n\).
(A) Vai noteikti \(C_{n}^{k}\) dalās ar \(n\), ja \(k\) un \(n\) ir savstarpēji pirmskaitļi?
(B) Vai \(k\) un \(n\) noteikti ir savstarpēji pirmskaitļi, ja \(C_{n}^{k}\) dalās ar \(n\) ?
Piezīme. Ar \(C_{n}^{k}\) apzīmēts kombināciju skaits no \(n\) elementiem pa \(k\) elementiem.
(A) Jā, noteikti. Ievērojam, ka \(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!}=n \cdot \frac{1}{k} \cdot C_{n-1}^{k-1}\), tātad \(C_{n-1}^{k-1}=C_{n}^{k} \cdot \frac{k}{n}\). Tā kā \(C_{n-1}^{k-1}\) ir naturāls skaitlis, tad \(C_{n}^{k} \cdot k\) dalās ar \(n\), bet tā kā \(k\) un \(n\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad \(C_{n}^{k}\) dalās ar \(n\).
(B) Nē, piemēram, \(C_{18}^{4}=\frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=18 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 5\), kas dalās ar \(18\), un skaitļi \(4\) un \(18\) nav savstarpēji pirmskaitļi, jo abi dalās ar \(2\).