Doti \(99\) naturāli skaitļi. Zināms, ka nav tāda skaitļa, ar ko dalītos visi šie skaitļi, un ka jebkuru \(50\) skaitļu reizinājums dalās ar atlikušo \(49\) skaitļu reizinājumu. Pierādīt, ka visu \(99\) skaitļu reizinājums ir naturāla skaitļa kvadrāts!
Izvēlamies patvaļīgu pirmskaitli \(p\), ar kuru dalās visu doto skaitļu reizinājums. No dotā seko, ka visi skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi. Tāpēc atradīsies tāds skaitlis \(c\), kas nav \(p\) daudzkārtnis. Sadalām atlikušos skaitļus divās grupās katrā pa \(49\) skaitļiem, grupu skaitļu reizinājumus apzīmējam ar \(a\) un \(b\). No uzdevuma nosacījumiem seko, ka \(ac \vdots b\) un \(bc \vdots a\). Tas nozīmē, ka reizinājumi \(a\) un \(b\) satur skaitli \(p\) vienā un tajā pašā pakāpē, jo skaitlis \(c\) nesatur reizinātāju \(p\). Tātad visu skaitļu reizinājumā, kas ir vienāds ar \(abc\), pirmskaitlim \(p\) ir pāra pakāpe. Tā kā iegūtais secinājums ir spēkā visiem pirmskaitļiem \(p\), tad esam pierādījuši, ka visu doto \(99\) skaitļu reizinājums ir naturāla skaitļa kvadrāts.