Atrisinājums

Apzīmējam \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\). Tad \(n^2 a_n=S_n\) , \((n+1)^{2}a_{n+1}=S_{n+1}\) un

\[\begin{gathered} S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}=(n+1)^{2}a_{n+1}-n^{2}a_{n} \Rightarrow a_{n+1}\left(n^{2}+2n\right)=n^{2}a_{n} \Rightarrow \\ a_{n+1}=\frac{n}{n+2} \cdot a_{n}=\frac{n}{n+2} \cdot \frac{n-1}{n+1} a_{n-1}=\frac{n}{n+2} \cdot \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{n-2}{n} a_{n-2}=\ldots=\frac{1}{n+2} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{1} \end{gathered}\]

Esam ieguvuši, ka \(a_{n}=\frac{2 a_{1}}{(n+1) n}\) un varam aprēķināt prasīto \(a_{50}=\frac{2 \cdot 1000}{51 \cdot 50}=\frac{40}{51}\).

Atrisinājums

Ievērojam, ka \(a_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n-1}}{n^{2}-1}\).

Aprēķināsim dažu pirmo virknes elementu vērtības atkarībā no \(a_{1}\) vērtības:

\[\begin{aligned} & a_{2}=a_{1} \frac{1}{2^{2}-1} \\ & a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right)=a_{3}\left(3^{2}-1\right) \\ & a_{3}=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right) \frac{1}{3^{2}-1} \\ & a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}-1}\right)=a_{4}\left(4^{2}-1\right) \end{aligned}\]

Vispārīgā veidā (pierādījums ar matemātiskās indukcijas metodi):

\[a_{n}\left(n^{2}-1\right)=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}-1}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{(n-1)^{2}-1}\right)=a_{1} \frac{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot(n-1)^{2}}{\left(2^{2}-1\right)\left(3^{2}-1\right) \ldots\left((n-1)^{2}-1\right)}\]

Izmantojot formulu \(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\), vienkāršojam iegūto vienādību:

\[a_{n}=a_{1} \frac{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot(n-1)^{2}}{(1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot(n-2) \cdot(n-1)) \cdot(3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n \cdot(n+1))}=a_{1} \frac{2}{n(n+1)}\]

Ievietojot skaitliskās vērtības, aprēķinām prasīto:

\[a_{50}=1000 \cdot \frac{2}{50 \cdot 51}=\frac{40}{51}\]