LV.AMO.2013.12.2
Trijstūrī \(ABC\) punkti \(M,\ N\) un \(K\) ir attiecīgi malu \(AB,\ BC\) un \(CA\) viduspunkti. Ir novilktas trīs riņķa līnijas: caur punktiem \(K,\ A,\ M\); caur punktiem \(M,\ B,\ N\); caur punktiem \(N,\ C,\ K\). Pierādīt, ka visas novilktās riņķa līnijas krustojas vienā punktā.
Atrisinājums
Aplūkosim divas no dotajām riņķa līnijām, skat. 20.zīm. \(\Delta AMK\) un \(\Delta KNC\) ir līdzīgi \(\triangle ABC\) ar līdzības koeficientu \(\frac{1}{2}\). Līdz ar to ap \(\triangle AMK\) un ap \(\Delta KNC\) apvilkto riņķa līniju rādiusi ir vienādi. Tāpēc tās abas krustojas punktos uz to simetrijas ass, kas ir \(AC\) vidusperpendikuls. Apzīmēsim šo riņķa līniju otru krustpunktu ar \(O\). Leņķu \(\sphericalangle OKC\) un \(\sphericalangle ONC\) summai jābūt \(180^{\circ}\), tāpēc \(\sphericalangle ONC\) arī ir taisns leņķis. Tātad \(ON\) ir malas \(BC\) vidusperpendikuls. Tāpēc abas apskatītas riņķa līnijas krustojas \(\triangle ABC\) vidusperpendikulu krustpunktā, kas ir \(\triangle ABC\) apvilktās riņķa līnijas centrs. Līdzīgi pierāda, ka arī trešā riņķa līnija iet caur punktu \(O\).
Atrisinājums
Trijstūris \(\triangle AMK\) ir homotētisks trijstūrim \(\triangle ABC\) ar koeficientu \(\frac{1}{2}\) un homotētijas centru punktā \(A\). Tāpēc \(\triangle AMK\) apvilktā riņķa līnija pieskaras \(\triangle ABC\) apvilktajai riņķa līnijai punktā \(A\). No homotētijas seko arī, ka \(\Delta AMK\) apvilktās riņķa līnijas diametrs ir vienāds ar \(\triangle ABC\) apvilktās riņķa līnijas rādiusu, tāpēc mazākā riņķa līnija iet caur lielākās centru. Līdzīgi pierāda, ka arī pārējās divas riņķa līnijas iet caur \(\triangle ABC\) apvilktās riņķa līnijas centru. Tāpēc visas trīs dotās riņķa līnijas krustojas vienā punktā \(O\) - \(\triangle ABC\) apvilktās riņķa līnijas centru.