Doti dažādi nepāra naturāli skaitļi \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\). Neviens no tiem nedalās ne ar vienu pirmskaitli, kas lielāks kā \(5\). Pierādīt, ka
\[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2.\]
Visi skaitļi \(a_{i}\) uzrakstāmi formā \(a_{i}=3^{b} \cdot 5^{c}\), tāpēc apskatāmas summas katrs saskaitāmais izsakāms formā \(\frac{1}{a_{i}}=\frac{1}{3^{b} \cdot 5^{c}}\). Apzīmēsim ar \(k\) maksimālo no visiem kāpinātājiem \(b\) un \(c\) pa visiem \(i\).
Pierādīsim, ka \(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}} \leq\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{3^{k}}\right)\left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots+\frac{1}{5^{k}}\right)\).
Labajā pusē, atverot iekavas, iegūsim visus iespējamos reizinājumus \(\frac{1}{3^{b} \cdot 5^{c}}\), visām \(b\) un \(c\) vērtībām no \(0\) līdz \(k\). Kreisajā pusē visi skaitļi arī ir izsakāmi šādā formā, un tie visi ir dažādi. Tātad labā puse satur visus tos pašus un varbūt vairāk saskaitāmos (tie visi ir pozitīvi) nekā kreisā puse, tāpēc labās puses vērtība ir lielāka vai vienāda ar kreisās puses vērtību.
Labajā pusē ir divu ģeometrisko progresiju summu reizinājums. Izmantojot ģeometriskās progresijas pirmo \(k\) locekļu summu, iegūstam
\(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{3^{k}}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{3}}<\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\) un \(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots+\frac{1}{5^{k}}=\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{5}}<\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}\).
Tātad \(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}} \leq \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8}<2\), k.b.j.