Dots, ka \(x_{1}\) ir vienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) sakne, bet \(x_{2}\) ir vienādojuma \(-x^{2}+p x+q=0\) sakne. Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{3} x^{2}+px+q=0\) noteikti ir sakne \(x_{3}\), kas atrodas starp \(x_{1}\) un \(x_{2}\) (t. i., \(x_{1} \leq x_{3} \leq x_{2}\) vai \(x_{2} \leq x_{3} \leq x_{1}\)).
Aplūkosim kvadrātfunkcijas \(\frac{1}{3} x^{2}+px+q\) vērtības punktos \(x_{1}\) un \(x_{2}\).
\[\begin{aligned} & \frac{1}{3} x_{1}^{2}+px_{1}+q=x_{1}^{2}+px_{1}+q-\frac{2}{3} x_{1}^{2}=-\frac{2}{3} x_{1}^{2} \leq 0 \\ & \frac{1}{3} x_{2}^{2}+px_{2}+q=-x_{2}^{2}+px_{2}+q+\frac{4}{3} x_{2}^{2}=\frac{4}{3} x_{2}^{2} \geq 0 \end{aligned}\]
Tā kā vienā no šiem punktiem polinoma vērtība ir negatīva, bet otrā - pozitīva, pie tam kvadrātfunkcija ir nepārtraukta, tad starp šiem punktiem ir arī kāds punkts, kurā funkcija \(\frac{1}{3} x^{2}+px+q\) pieņem vērtību \(0\). Šis punkts ir vienādojuma \(\frac{1}{3} x^{2}+px+q=0\) sakne.