Atrisinājums

Apzīmēsim pa apli uzrakstītos skaitļus kā parādīts 10.zīmējumā. Tā kā \(a+b+c\) un \(b+c+d\) dalās ar \(5\), tad \(a\) un \(d\), dalot ar \(5\), dod vienādu atlikumu (apzīmēsim to ar \(r\), \(0 \leq r < 5)\).

Līdzīgi no tā, ka \(d+e+f\) un \(e+f+g\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(g\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(g+h+k\) un \(h+k+m\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(m\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(m+n+a\) un \(n+a+b\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(b\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(b+c+d\) un \(c+d+e\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(e\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(e+f+g\) un \(f+g+h\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(h\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(h+k+m\) un \(k+m+n\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(n\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(n+a+b\) un \(a+b+c\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(c\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(c+d+e\) un \(d+e+f\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(f\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

No tā, ka \(f+g+h\) un \(g+h+k\) dalās ar \(5\), seko, ka arī \(k\) dod atlikumu \(r\), dalot ar \(5\).

Tātad visi \(11\) uzrakstītie skaitļi, dalot ar \(5\), dod atlikumu \(r\). Tā kā summa \(a+b+c\) dalās ar \(5\), tad šo skaitļu atlikumu summa \(r+r+r=3r\) arī dalās ar \(5\). Skaitlis \(3\) nedalās ar \(5\), tātad \(r\) dalās ar \(5\). Tā kā \(r < 5\), tad \(r=0\), kas nozīmē, ka visi uzrakstītie skaitļi dalās ar \(5\).

Atrisinājums

Atlikumi pēc \(5\) moduļa ik pēc \(3\) atkārtojas, tātad tie visi vienādi (un vienādi ar \(0\)).