Atrisinājums

Vienādojumu var pārveidot kā:

\[\frac{1}{x^{2}+24}-\frac{1}{xy+24}=\frac{1}{xy+24}-\frac{1}{y^{2}+24}\]

Abās pusēs vienādojot saucējus iegūst: \(\frac{xy+24-x^{2}-24}{\left(x^{2}+24\right)(xy+24)}=\frac{y^{2}+24-xy-24}{\left(y^{2}+24\right)(xy+24)}\) jeb \(\frac{x(y-x)}{\left(x^{2}+24\right)(xy+24)}=\frac{y(y-x)}{\left(y^{2}+24\right)(xy+24)}\) Izdalot abas puses ar \((y-x)\) (to var darīt, jo \(x \neq y\) ) un pareizinot ar \((xy+24)\left(x^{2}+24\right)\left(y^{2}+24\right)\) iegūst \(x\left(y^{2}+24\right)=y\left(x^{2}+24\right)\) Pārnesot visu uz vienu pusi iegūst \(xy^{2}-x^{2}y+24x-24y=0\) Sagrupējot iegūst \(xy(y-x)-24(y-x)=0\) jeb \((xy-24)(y-x)=0\) Tā kā \(x \neq y\), tad \(xy=24\). Šim vienādojumam naturālos skaitļos ir \(8\) atrisinājumi: \(x=1,\ y=24;\ x=2,\ y=12; x=3,\ y=8;\ x=4,\ y=6;\ x=6,\ y=4;\ x=8,\ y=3;\ x=12,\ y=2;\ x=24,\ y=1\).

Pārbaude (simetrijas pēc var pārbaudīt tikai pirmos četrus) liecina, ka visi der.