Dotas trīs aritmētiskas progresijas:
(1) \(1,\ 15,\ 29,\ 43,\ 57,\ 71,\ \ldots\)
(2) \(2,\ 17,\ 32,\ 47,\ 62,\ 77,\ \ldots\)
(3) \(3,\ 19,\ 35,\ 51,\ 67,\ 83,\ \ldots\)
(A) Atrodi mazāko skaitli, kas pieder visām trim dotajām virknēm!
(B) Pierādi, ka ir bezgalīgi daudz tādu skaitļu, kas pieder visām trim dotajām virknēm!
Uzrakstīsim katrai virknei vispārīgā elementa formulu:
(1) \(1+14k\),
(2) \(2+15l\)
(3) \(3+16m\).
Atradīsim skaitļus, kas pieder virknēm (1) un (2):
\(1+14k=2+15l\)
\(14k=1+(14l+l) \Rightarrow l+1\) jādalās ar \(14\).
Mazākās derīgās vērtības ir \(l=13,\ k=14\). Tātad pirmajām divām virknēm pieder skaitļi, kas izsakāmi formā
\(197+210u\ (210=MKD(14,15))\).
Visām trim virknēm piederēs skaitļi, kuriem
\(197+210u=3+16m\) jeb
\(8m=97+105u=(8 \cdot 12+1)+(8 \cdot 13+1)u\).
Tātad \(1+u\) jādalās ar \(8\). Mazākā derīgā \(u\) vērtība ir \(7\).
Tātad mazākais skaitlis, kas pieder visām trim virknēm ir \(1667\).
Vispārīgā formā visām virknēm kopīgie locekļi ir izsakāmi formā \(1667+1680p\ (1680=MKD(14,15,16))\). Šādu skaitļu ir bezgalīgi daudz.
Piezīme. Uzdevumu var risināt arī asprātīgāk, pamanot, ka "iepriekšējais" (jeb \(0\)-tais) loceklis visās virknēs būtu vienāds ar \(-13\). Atliek atrast visu virkņu diferenču mazāko kopīgo dalāmo un pirmo locekli.