Uz tāfeles uzrakstīti pieci dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka
Atrodi visus šos skaitļus!
Atbilde: \(7,2,41,3,37\).
Apzīmēsim uz tāfeles uzrakstītos pirmskaitļus ar \(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}\).
No 4.nosacījuma var secināt, ka \(p_{1}, p_{2}, p_{4}\) visi nevar būt nepāra skaitļi, jo tad \(p_{1}+p_{4}\) būs pāra skaitlis, bet \(5 p_{2}\) - nepāra. Tātad kāds no tiem ir pāra skaitlis, un vienīgais pāra pirmskaitlis ir \(2\). Ja \(p_{4}=2\), tad būtu \(5 p_{2}=9\), kas nevar būt. Tātad \(p_{2}=2\) un attiecīgi \(p_{4}=5 \cdot 2-7=3\).
Iespējamie skaitļi, kam visi cipari ir vienādi un ko var iegūt \(3\) reizinot ar kādu skaitli, kas nepārsniedz \(100\), ir \(33,\ 66,\ 99,\ 111,\ 222\). Taču tikai \(33=3 \cdot 11\) un \(111=3 \cdot 37\) izsakāms kā skaitļa \(3\) reizinājums ar pirmskaitli. Tāpēc \(p_{5}=11\) vai \(p_{5}=37.\ p_{5}=11\) neder, jo tad \(p_{3}=11+4=15\), kas nav pirmskaitlis. Tātad \(p_{5}=37\) un \(p_{3}=41\).
Noskaidrojam skaitļus pa soļiem:
a. \(p_1=7\), b. \(p_5 \neq 11\), d. \(p_4 \neq 11\), c. \(p_4 p_5 = 3 \cdot 37\), d. \(p_4 \neq 37\). Tātad \((7,2,41,3,37)\) ir vienīgā iespēja.