Dotas trīs aritmētiskas progresijas:
(1) \(8,\ 19,\ 30,\ 41,\ 52,\ \ldots\)
(2) \(8,\ 21,\ 34,\ 47,\ 60,\ \ldots\)
(3) \(4,\ 21,\ 38,\ 55,\ 72,\ \ldots\)
(A) Atrodi mazāko skaitli, kas pieder visām trim dotajām virknēm!
(B) Pierādi, ka ir bezgalīgi daudz tādu skaitļu, kas pieder visām trim
dotajām virknēm!
(A) Noskaidrosim, kādi skaitļi vienlaicīgi pieder pirmajām divām progresijām (1) un (2).
Tie ir skaitļi, kas vienlaicīgi izsakāmi gan formā \(8+11k\), gan \(8+13m\), (\(k\), \(m\) - veseli nenegatīvi skaitļi), tātad jābūt \(11k=13m\). Tā kā \(11\) un \(13\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad \(k=13p\) un \(m=11p\) un virknēm (1) un (2) vienlaicīgi piederēs tie un tikai skaitļi, kas izsakāmi formā \(8+143p\) (\(p-k\) vesels nenegatīvs skaitlis).
Atliek noskaidrot, kuri no šiem skaitļiem vienlaicīgi pieder arī virknei (3). Progresijas (3) vispārīgā locekļa formula ir \(4+17r\). Ja skaitlis pieder visām trim dotajām virknēm, tad \(8+143p\) dalot ar \(17\), atlikums ir \(4\). Atlikums, \(8+143p\) dalot ar \(17\), ir vienāds ar atlikumu, ko iegūst \((8+143p)-136p=8+7p\), dalot ar \(17\). Aplūkosim šos atlikumus atkarībā no tā, kādu atlikumu, dalot ar \(17\), dod \(p\).
| atlikums, \(\mathbf{p}\), dalot ar \(\mathbf{17}\) | atlikums, \(\mathbf{8+7p}\), dalot ar \(\mathbf{17}\) |
|---|---|
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(15\) |
| \(2\) | \(5\) |
| \(3\) | \(12\) |
| \(4\) | \(2\) |
| \(5\) | \(9\) |
| \(6\) | \(16\) |
| \(7\) | \(6\) |
| \(8\) | \(13\) |
| \(9\) | \(3\) |
| \(10\) | \(10\) |
| \(11\) | \(0\) |
| \(12\) | \(7\) |
| \(13\) | \(14\) |
| \(\mathbf{14}\) | \(\mathbf{4}\) |
| \(15\) | \(11\) |
| \(16\) | \(1\) |
Redzam, ka vienīgā derīgā \(p\) atlikuma, dalot ar \(17\), vērtība ir \(14\). Tātad mazākais skaitlis, kas pieder visām trim dotajām virknēm, ir \(8+143 \cdot 14=\mathbf{2010}\ (2010=8+11 \cdot 182=8+13 \cdot 154=4+17 \cdot 118)\).
(B) Aplūkosim skaitļus, kas izsakāmi formā \(2010+11 \cdot 13 \cdot 17s\) (\(s\) - nenegatīvs vesels skaitlis). Šos skaitļus var izteikt gan kā \(8+11(182+13 \cdot 17 s)\), gan \(8+13(154+11 \cdot 17s)\), gan \(4+17(118+11 \cdot 13s)\), tātad visām veselām nenegatīvām \(s\) vērtībām tie vienlaicīgi pieder visām trim dotajām virknēm. Tā kā \(s\) var pieņemt bezgalīgi daudz dažādas vērtības, tādu skaitļu, kas pieder visām trim dotajām virknēm vienlaicīgi, ir bezgalīgi daudz.