Sākums

LV.AMO.2009.9.4

Naturāla skaitļa \(n\) pozitīvo dalītāju skaitu apzīmējam ar \(d(n)\). Piemēram, \(d(1)=1;\ d(6)=4\) utt. Sauksim skaitli \(n\) par apaļīgu, ja tas dalās ar \(d(n)\).

(A) atrodiet piecus apaļīgus skaitļus,

(B) pierādiet, ka apaļīgu skaitļu ir bezgalīgi daudz.

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Ja \(p\) ir pirmskaitlis, tad skaitlim \(p^{n-1}\) ir tieši \(n\) dalītāji \(1;\ p;\ p^{2};\ \ldots;\ p^{n-1}\). Pieņemsim, ka \(p\) - pirmskaitlis, \(n\) - naturāls skaitlis. Apskatīsim \(A=p^{p^{n}-1}\). Tam ir \(p^{n}\) dalītāju. Lai pierādītu, ka \(A\) ir apaļīgs, pietiek pierādīt, ka \(p^{n}-1 \geq n\) jeb \(p^{n} \geq n+1\). To iegūst, sareizinot \(n\) acīmredzamas nevienādības \(p \geq 2, \quad p \geq \frac{3}{2}, \quad p \geq \frac{4}{3}, \quad \ldots, \quad p \geq \frac{n+1}{n}\).