Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis. Noskaidrojiet:
(A) vai var gadīties, ka skaitlim \(n^{2}-1\) ir tieši \(10\) dažādi naturāli
dalītāji?
(B) vai var gadīties, ka skaitlim \(n^{2}-4\) ir tieši \(10\) dažādi naturāli
dalītāji, ja \(n\) - pāra skaitlis?
(A) jā, var; piemēram, \(n=7\), jo skaitļa \(7^{2}-1=48\) naturālie dalītāji ir \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6;\ 8;\ 12;\ 16;\ 24;\ 48\).
Tālāk vispirms atcerēsimies, ka skaitlim \(p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}}\) ir \(\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)\) dažādi naturāli dalītāji, ja \(p_{1}, \ldots, p_{k}\) - dažādi pirmskaitļi, \(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\) - naturāli kāpinātāji. Skaidrs, ka \(\left(\alpha_{1}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)=10\) iespējams tikai skaitļiem \(p_{1}^{9}\) un \(p_{1} \cdot p_{2}^{4}\). Skaidrs arī, ka mūsu \(n \neq 1\).
(B) nē, nevar. Ja \(n=2m\), tad \(n^{2}-4=4(m-1)(m+1)\). Ja \(n^{2}-4=p^{9}\), \(p^{9}\) ir pāra skaitlis, tātad \(p=2\) un \(n^{2}=2^{9}+4=516\); tad \(n=\sqrt{516} \notin N\).
Ja \(n^{2}-4=p_{1} \cdot p_{2}^{4}\), tad \(4(m-1)(m+1)=p_{1}p_{2}^{4}\) dalās ar \(4\); tāpēc \(p_{2}=2\) un \((m-1)(m+1)=4p_{1}\). Tāpēc \(m\) - nepāra skaitlis; tad \((m-1)\) un \((m+1)\) ir viens otram sekojoši pāra skaitļi, \((m-1)(m+1)\) dalās ar \(8\) un \(p_{1}\) dalās ar \(2\) - pretruna.