Funkcijai \(f(n)\) gan argumenti, gan vērtības ir naturāli skaitļi, un katriem diviem naturāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) pastāv vienādība
\[xf(y)+yf(x)=(x+y) f\left(x^{2}+y^{2}\right)\]
Atrast visas šādas funkcijas \(f\) un pierādīt, ka citu bez jūsu atrastajām nav.Skaidrs, ka der visas konstantās funkcijas. Pierādīsim, ka citu atrisinājumu
nav. Pieņemsim pretējo; tad eksistē tādi \(x\) un \(y\), ka \(f(x)
\[f(x)=\frac{xf(x)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(y)}{x+y}=f(y)\]
Esam ieguvuši, ka \(f(x)<f\left(x^{2}+y^{2}\right)<f(y)\) - pretruna ar \(x\) un \(y\) izvēli.