LV.AMO.2013.6.1  

i

Uz tāfeles uzrakstīti desmit skaitļi

\[\begin{array}{llllllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}\]

Alfons nodzēš jebkurus divus no tiem (apzīmēsim tos ar \(a\) un \(b\)) un to vietā uzraksta skaitli, kas vienāds ar \(a+b+2\). Šo operāciju viņš atkārto, kamēr uz tāfeles paliek viens skaitlis.

Pamato, ka neatkarīgi no secības, kādā Alfons izpilda darbības, beigās tiek iegūts viens un tas pats skaitlis. Kāds tas ir?

Atrisinājums

40.AMO, 6.klases 1.uzdevums 00:33 Uzdevuma saprašana: "Jebkurus divus" skaitļus var izvēlēties ļoti daudzos veidos. Būtu liktenīga kļūda aplūkot tikai vienu vai divus piemērus. 01:26 Uzdevuma saprašana: Nav pateikts, kur ieraksta jauno skaitli, bet secība šeit nav svarīga. 01:59 Uzdevuma saprašana: Neatkarīgi no darbību secības tieši pēc 9 gājieniem viss būs beidzies. 02:34 Risinājums: Kas notiktu, ja nodzēšto skaitļu vietā rakstītu vienkārši "a+b". Metode: Pāreja uz vienkāršāku uzdevumu. 03:48 Risinājums: Kā ātri saskaitīt 1+2+...+N. Metode: Saskaitīšana ar pārgrupēšanu. 05:15 Risinājums: Visu uzrakstīto skaitļu summa mainās, bet mainās prognozējami - pieaug par 2 pēc katras dzēšanas. Metode: Invariantu izmantošana. 05:35 Risinājums: Pēc 9 soļiem būs visu skaitļu summa plus 18. Atrodam visu skaitļu summu un pieskaitām 18. Metode: Saskaitīšanas pārtapšana par reizināšanu. 06:10 Atskats: Var pārbaudīt 1-2 gadījumiem. 07:18 Atskats: Sekas no operācijas (a,b)-> a+b+2 komutativitātes un asociativitātes. (Komutativitāte nodrošina to, ka nav svarīga secība, kā izvēlas a un b. Asociativitāte nodrošina to, ka nav svarīgi, kā zīmē koku.)