LV.AMO.2013.12.3  

i

Pierādīt, ka neeksistē tādi naturāli skaitļi \(x, y, z\), ka izpildās vienādība \(6^{x}+13^{y}=29^{z}\).

Atrisinājums

40.AMO, 12.klases 3.uzdevums 00:16 Uzdevuma saprašana: Kādas pieejas droši vien neder - nav cerību uzminēt sakni, pārlasīt visus gadījumus, uzreiz pamanīt, kas kopīgs visiem skaitļiem formā 6^x + 13^y, nevienādības, novērtējumi vai definīcijas apgabali... Reālos skaitļos vienādojumu atrisināt viegli (logaritms). Vienīgā perspektīvā metode, lai risinātu veselos skaitļos - aplūkot kādas skaitļu īpašības vienādojuma kreisajā un labajā pusē. Piemēram, dalāmību ar kādu skaitli. Pāru/nepāru pieeja neder; jāaplūko lielāki skaitļi. Metode: Modulārā aritmētika. 01:34 Risinājums: Aplūkojam atlikumus, dalot ar 3, 5 un 7. Metode: Gadījumu pārlase. 01:56 Risinājums: Kongruences apzīmējums (mod 7); un kongruences skaitļu 6, 13 un 29 veselām pakāpēm. Metode: Modulārā aritmētika. 04:56 Risinājums: Nav iespējams, ka (+1/-1) + (+1/-1) kongruents ar 1 (mod 7). Metode: Spriedums no pretējā.