Atrisinājums

Ievērojam, ka naturālu skaitli \(n\), dalot ar \(3\), var iegūt atlikumu \(0, 1\) vai \(2\), un atrodam, kādu atlikumu var iegūt, ja \(n^{2}\) dala ar \(3\):

• ja \(n \equiv 0(\bmod 3)\), tad \(n^{2} \equiv 0^{2} \equiv 0(\bmod 3)\);
• ja \(n \equiv 1(\bmod 3)\), tad \(n^{2} \equiv 1^{2} \equiv 1(\bmod 3)\);
• ja \(n \equiv 2(\bmod 3)\), tad \(n^{2} \equiv 2^{2} \equiv 4 \equiv 1(\bmod 3)\).

Tātad naturāla skaitļa kvadrātu, dalot ar \(3\), var iegūt atlikumu \(0\) vai \(1\).

Apskatot doto izteiksmi pēc moduļa \(3\), iegūstam \(13^{n}+7^{n}+2019 \equiv 1^{n}+1^{n}+0=1+1=2(\bmod 3)\). Tātad dotā izteiksme, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(2\), tātad tā nevar būt naturāla skaitļa kvadrāts.

Piezīme. Uzdevumu var atrisināt arī aplūkojot izteiksmi pēc jebkura skaitļa \(3\) daudzkārtņa moduļa, tas ir, \(6, 9, 12\) utt.