Atrisinājums

Izmantojot vienādību \(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\), pārrakstām dotās vienādības labās puses izteiksmi

\[\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\cdots+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y+1}\]

Tātad katrai \(n\) vērtībai nepieciešams atrast atbilstošo \(x\) un \(y+1\) vērtību. No vienādības \(\frac{1}{n}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y+1}\) izsakot \(x\), iegūstam \(x=n \frac{y+1}{y+1+n}\). Izvēloties \(y+1=(n-1)n\), iegūstam, ka \(x=n-1\). Līdz ar to

\[\frac{1}{x}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{(n-1)n}=\frac{n-1}{(n-1)n}=\frac{1}{n}\]

Tā kā \(n>1\), tad \(y+1>x\) jeb \(y \geq x\), un prasītais ir pierādīts visām naturālām \(n\) vērtībām. *Piezīme.* Ja \(n\) ir pāra skaitlis, tad var izmantot \(y+1=n\) un \(x=\frac{n}{2}\).

Atrisinājums

Apgalvojums: Ir spēkā identitāte \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\).

Piemēri:

\[\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot{}3} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3},\]

\[\frac{1}{12}=\frac{1}{3\cdot{}4} = \frac{1}{3}-\frac{1}{4},\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{4\cdot{}5} = \frac{1}{4}-\frac{1}{5}.\;\cdots\]

Katru daļu, kuras saucējā ir divu sekojošu skaitļu reizinājums, var izteikt kā starpību. Izmantojam šo identitāti, lai pārveidotu izteiksmi:

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots{}+\frac{1}{y(y+1)}.\]

\[\frac{1}{n}=\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) + \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) +\]

\[+\cdots+\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{y+1}\]

Vai jebkuru daļu \(\frac{1}{n}\) var izteikt kā \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y+1}\)? Izmantojam vienādības no iepriekšējā slaida. Piemēram, ja \(n=5\):

\[\frac{1}{5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20}.\]