Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(xy^{433}\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe. Pierādīt, ka arī \(x^{433}y\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe!
Apzīmējam \(xy^{433}=z^{2016}\), kur \(z\) - naturāls skaitlis. Kāpinot abas puses \(433.\) pakāpē, iegūstam \(x^{433}y^{433 \cdot 433}=z^{2016 \cdot 433}\). Izsakām
\[x^{433} y=\frac{z^{2016 \cdot 433}}{y^{433 \cdot 433-1}}=\left(\frac{z^{433}}{y^{93}}\right)^{2016}\]
Skaitlis \(x^{433}y\) ir naturāls skaitlis, tāpēc arī \(\left(\frac{z^{433}}{y^{93}}\right)^{2016}\) ir naturāls. Ja \(z^{433}\) nedalītos ar \(y^{93}\), tad \(\frac{z^{433}}{y^{93}}\) varētu izteikt kā nesaīsināmu daļu \(\frac{m}{n}\). Bet tad arī \(\frac{m^{2016}}{n^{2016}}\) būtu nesaīsināma daļa, taču tam jābūt naturālam skaitlim - pretruna. Tāpēc \(z^{433}\) dalās ar \(y^{93}\) un tātad arī \(x^{433}y\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe.Apgalvojums: Skaitlis \(N\) ir kāda naturāla skaitļa 2016. pakāpe tad un tikai tad, ja, sadalot pirmreizinātājos \(N=p_1^{a_1}\cdot{}p_2^{a^2}\cdot\ldots\cdot{}p_k^{a_k}\), visi kāpinātāji \(a_i\) dalās ar \(2016\). (T.i. vai nu pirmskaitlis \(p_i\) vispār nepiedalās \(N\) sadalījumā, vai arī piedalās ar kāpinātāju \(a_i = 2016m\).)
Dalīšana pirmreizinātājos: Aplūkojam viena konkrēta pirmskaitļa \(p\)
pakāpi, ar kādu tas ietilpst \(x\) un \(y\) sadalījumā pirmreizinātājos.
Pieņemsim, ka šie kāpinātāji ir attiecīgi \(a\) un \(b\):
\[x=p^a\cdot\ldots,\;\;y=p^b\cdot\ldots,\]
\[xy^{433} = p^{a+433b}\ldots,\;\;x^{433}y = p^{433a+b}.\]
**Apgalvojums:** Ja \(a+433b\) dalās ar \(2016\), tad arī \(433a+b\) dalās ar \(2016\). **Pierādījums:** Apzīmējam \(a+433b=2016k\). Reizinām ar \(433\): \(433a+433^2b=2016\cdot{}433k\). Pamatosim, ka starpība starp šo un \(433a+b\) arī dalās ar \(2016\):\[(433a+433^2b) - (433a+b)=(433^2-1)b = 187488b.\]
Viegli redzēt, ka \(187488=2016\cdot{}93\) dalās ar \(2016\).