Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas principu.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(3+5-8=0\) dalās ar \(10\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ja \(n=k\), tad \(3k^{5}+5k^{4}-8k\) dalās ar \(10\).

Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ja \(n=k+1\), tad \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) dalās ar \(10\).

Ekvivalenti pārveidojam izteiksmi \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) :

\[\begin{aligned} & 3\left(k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1\right)+5\left(k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1\right)-8(k+1)= \\ & =3k^{5}+20k^{4}+50k^{3}+60k^{2}+27k=3k^{5}+5k^{4}-8k+15k^{4}+50k^{3}+60k^{2}+35k= \\ & =3k^{5}+5k^{4}-8k+5k \cdot\left(3k^{3}+10k^{2}+12k+7\right) \end{aligned}\]

Saskaitāmais \(3k^{5}+5k^{4}-8k\) dalās ar \(10\) pēc induktīvā pieņēmuma. Saskaitāmais \(5k \cdot\left(3k^{3}+10k^{2}+12k+7\right)\) dalās ar \(5\), jo satur reizinātāju \(5\), un dalās ar \(2\), jo - ja \(k\) ir pāra skaitlis, tad reizinātājs \(k\) dalās ar \(2\); - ja \(k\) ir nepāra skaitlis, tad reizinātājs \(3k^{3}+10k^{2}+12k+7\) ir pāra skaitlis un tas dalās ar \(2\). Tā kā izteiksme \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) dalās gan ar \(2\), gan ar \(5\), tad tā dalās arī ar \(10\) un līdz ar to esam pierādījuši, ka \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) dalās ar \(10\). No matemātiskās indukcijas principa izriet, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\), kas arī bija jāpierāda.

Atrisinājums

Pārveidojam doto izteiksmi:

\[\begin{aligned} & 3n^{5}+5n^{4}-8n=n\left(3n^{4}-3n^{3}+8n^{3}-8\right)=n\left(3n^{3}(n-1)+8\left(n^{3}-1\right)\right)= \\ & =n\left(3n^{3}(n-1)+8(n-1)\left(n^{2}+n+1\right)\right)=n(n-1)\left(3n^{3}+8\left(n^{2}+n+1\right)\right) \end{aligned}\]

Viens no reizinātājiem \(n\) vai \(n-1\) ir pāra skaitlis, tāpēc noteikti dotā izteiksme dalās ar \(2\). Vēl jāpierāda, ka dotā izteiksme dalās ar \(5\). Skaitli \(n\) dalot ar \(5\), iespējamas piecas dažādas atlikumu vērtības: \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\). Apskatām visus gadījumus: - \(n=5k\), tad reizinātās \(n\) dalās ar \(5\); - \(n=5k+1\), tad reizinātājs \(n-1\) dalās ar \(5\); - \(n=5k+2\) jeb \(n \equiv 2(\bmod 5)\), tad

\[3n^{3}+8 \cdot\left(n^{2}+n+1\right) \equiv 3 \cdot 8+8 \cdot(4+2+1) \equiv 4+1 \equiv 0(\bmod 5)\]

- \(n=5k+3\) jeb \(n \equiv 3(\bmod 5)\), tad

\[3n^{3}+8 \cdot\left(n^{2}+n+1\right) \equiv 3 \cdot 27+8 \cdot(9+3+1) \equiv 1+4 \equiv 0(\bmod 5)\]

- \(n=5k+4\) jeb \(n \equiv 4(\bmod 5)\), tad

\[3n^{3}+8 \cdot\left(n^{2}+n+1\right) \equiv 3 \cdot 64+8 \cdot(16+4+1) \equiv 2+3 \equiv 0(\bmod 5)\]

Esam ieguvuši, ka visos gadījumos dotā izteiksme dalās gan ar \(2\), gan ar \(5\), tātad tā dalās ar \(10\).

Atrisinājums

• Dalāmību ar \(10\) pārbaudām, dalot ar \(2\) un \(5\)
• \(3n^5 + 5n^4 - 8n\) vienmēr ir pāru skaitlis (aplūko, ja \(n\) ir pāru/nepāru)

• \(3n^5 + 5n^4 - 8n\), dalot ar \(5\) dod to pašu atlikumu, ko \(3n^5 - 3n\)

  • Ja \(n\) dalās ar \(5\), tad \(3n(n^4-1)\) dalās ar \(n\) (tātad arī ar \(5\)).
  • Visiem citiem \(n\) atlikumiem, dalot ar \(5\) (atlikumi \(1,2,3,4\)) iegūstam: \(n^4 - 1\) dalās ar \(5\)

Jāievieto skaitļi \(n=1,2,3,4\) izteiksmē \(n^4-1\): vienmēr dalīsies ar \(5\).
Lielākiem skaitļiem (\(n=6,7,8,9\)) šie atlikumi sāks atkārtoties.