Atrisinājums

Apzīmējam \(k=n+3\). Tad \(n=k-3\) un pārveidojam pirmo izteiksmi:

\[\frac{n^{3}+3}{n+3}=\frac{(k-3)^{3}+3}{k}=\frac{k^{3}-9 k^{2}+27k-27+3}{k}=k^{2}-9k+27-\frac{24}{k}\]

Līdzīgi, apzīmējot \(m=n+4\), pārveidojam otro daļu: \(\frac{n^{4}+4}{n+4}=\frac{(m-4)^{4}+4}{m}=\frac{m^{4}-16m^{3}+96m^{2}-256m+256+4}{m}=m^{3}-16m^{2}+96m-256+\frac{260}{m}\). Lai abu daļu vērtības būtu veseli skaitļi, tad skaitlim \(k=n+3\) jābūt \(24\) dalītājam un atbilstošajam skaitlim \(m=n+4\) jābūt \(260\) dalītājam. Derīgās \(n+3\) vērtības apkopotas tabulas otrajā kolonnā: | \(n\) | \(n+3\) | \(n+4\) | | ---- | ---- | ---- | | \(-27\) | \(-24\) | \(-23\) | | \(-15\) | \(-12\) | \(-11\) | | \(-11\) | \(-8\) | \(-7\) | | \(\mathbf{-9}\) | \(-6\) | \(\colorbox{lightgray}{-5}\) | | \(-7\) | \(-4\) | \(-3\) | | \(\mathbf{-6}\) | \(-3\) | \(\colorbox{lightgray}{-2}\) | | \(\mathbf{-5}\) | \(-2\) | \(\colorbox{lightgray}{-1}\) | | \(-4\) | \(-1\) | \(0\) | | \(-2\) | \(1\) | \(\colorbox{lightgray}{2}\) | | \(-1\) | \(2\) | \(3\) | | \(\mathbf{0}\) | \(3\) | \(\colorbox{lightgray}{4}\) | | \(\mathbf{1}\) | \(4\) | \(\colorbox{lightgray}{5}\) | | \(3\) | \(6\) | \(7\) | | \(5\) | \(8\) | \(9\) | | \(\mathbf{9}\) | \(12\) | \(\colorbox{lightgray}{13}\) | | \(21\) | \(24\) | \(25\) | No skaitļu \(n+4\) vērtībām ietonētās ir skaitļa \(260\) dalītāji. Tātad meklētās \(n\) vērtības ir \(-9,\ -6,\ -5,\ -2,\ 0,\ 1,\ 9\).

Atrisinājums

Polinomus (tāpat kā naturālus skaitļus) var dalīt ar atlikumu.

Apgalvojums: Ja \(A(x)\) un \(B(x)\) ir polinomi, \(A(x)\) pakāpe ir vismaz tikpat liela kā \(B(x)\), tad eksistē divi citi polinomi \(Q(x), R(x)\), kam \(A(x)=Q(x)B(x)+R(x). \)Q(x)\( sauc par *dalījumu*, bet \)R(x)\( - par *atlikumu*. \)R(x)\( pakāpe ir mazāka nekā \)B(x)\( pakāpe. Var gadīties, ka atlikums \)R(x)=0\(, ja \)A(x)\( izdalās ar \)B(x)\( bez atlikuma. Var arī gadīties, ka \)R(x)\( ir konstante – t.i. \)0\(-tās pakāpes polinoms. **Pirmais dalīšanas piemērs:**

\[\begin{aligned} \frac{n^3+3}{n+3} & = \frac{n^2(n+3) - 3n^2 + 3}{n+3} = \\ & = n^2+\frac{-3n^2+3}{n+3} = \\ & = n^2+\frac{-3n(n+3)+9n+3}{n+3} = \\ & = n^2-3n+\frac{9n+3}{n+3} = \\ & = n^2-3n+\frac{9(n+3)-27+3}{n+3} = \\ & = n^2-3n+9+\frac{-24}{n+3}. \end{aligned}\]

Vajag, lai \)24\( dalās ar \)n+3\(. **Otrais dalīšanas piemērs:**

\[\frac{n^4 + 4}{n+4} = n^3 - 4n^2 + 16n - 64 + \frac{256+4}{n+4}\]

Vajag, lai \)260=2\cdot{}2\cdot{}5\cdot{}13\( dalās ar \)n+4\( jeb

\[n+4 \in \{ \ldots, -26, -20, -13, -10, -5, -4, -2, -1 \} \cup\]

\[\cup \{1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, \ldots \}\]

Atradīsim tos veselos \)z\(, kuriem dalījums \)\frac{24}{x}\( (vai \)\frac{260}{x}\() ir vesels? Dalām pirmreizinātājos.

\[24 = 2^3\cdot{}3^1,\;\;260=2^2\cdot{}5\cdot{}13\]

Cik šādiem skaitļiem ir dalītāju? **Apgalvojums:** Ja skaitlis \)N\( dalās ar \)2\( dažādiem pirmskaitļiem (\)N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\() tad visi veselie \)N\( dalītāji ir formā: \)d = \pm p_1^{b_1}\cdot{}p_2^{b_2}\(, kur \)b_1 \leq a_1\( un \)b_2 \leq a_2\(. (Analoģiski arī lielākam pirmskaitļu skaitam.) Piemēram, \)N=24=2^3\cdot{}3^1\( dalītāji ir \)d=2^{b_1}3^{b_2}\(, kur \)b_1 \in { 0,1,2,3 }\(, \)b_2 \in { 0,1 }\(. Meklējam divu kopu šķēlumu:

\[n+3 \in \{ -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \}\]

un

\[\begin{array}{l} n+4 \in \{ \ldots, -26, -20, -13, -10, -5, -4, -2, -1 \} \cup \\ \cup \{1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, \ldots \} \\ \end{array}\]

No šejienes \)(n+4) \in { -5, -2, -1, 2, 4, 5, 13 }\( jeb \)n \in { -9, -6, -5, -2, 0, 1, 9 }$.