Atrisinājums

Apskatīsim Fibonači virknes locekļu atlikumus, dalot ar \(3\). Tad iegūstam virkni \(\underline{1,1,2,0,2,2,1,0,}1,1,2, \ldots\)

Atlikumu virkne ir periodiska (periods ir pasvītrots). Tātad virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas ir dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\).

Taču naturāla skaitļa kvadrāts, dalot ar \(3\), var dot atlikumu tikai \(0\) vai \(1\):

• ja \(n=3k \Rightarrow n^{2}=9k^{2}=3 \cdot 3k^{2}+0\)
• ja \(n=3k+1 \Rightarrow n^{2}=9k^{2}+6k+1=3 \cdot\left(3k^{2}+2k\right)+1\)
• ja \(n=3k+2 \Rightarrow n^{2}=9k^{2}+12k+4=3 \cdot\left(3k^{2}+4k+1\right)+1\)

Tātad Fibonači virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu (tie, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\)), kas nav naturāla skaitļa kvadrāts.

Atrisinājums

Atrodam Fibonači virknes atlikumus, dalot ar 3:

Kā redzams tabuliņā \(F_1 \equiv F_9 \equiv 1\) un \(F_2 \equiv F_{10} \equiv 1\) pēc \(3\) moduļa (tāpēc sākot ar devīto locekli atkal atkārtosies tas pats astoņu atlikumu periods: \(1,1,2,0,2,2,1,0\)).

• Neviens pilns kvadrāts nevar dot atlikumu \(2\), dalot ar \(3\), jo \((3k+1)^2\) un \((3k+2)^2\) dod atlikumu \(1\).
• Fibonači virknē atlikums \(2\), dalot ar \(3\) parādīsies bezgalīgi bieži - \(x_3\), \(x_5\), \(x_6\) (un arī \(x_{2+8k}\), \(x_{2+8k}\), \(x_{2+8k}\) jebkuram \(k\)).
• Visi šie nebūs naturāla skaitļa kvadrāti.

Protams, faktiski kvadrātu starp Fibonači virknes locekļiem ir vēl krietni mazāk (no augšminētajiem tikai \(1=1^2\) un \(144=12^2\)). Bet šajā uzdevumā jāpamato, ka no kādas vietas virknes uzvedība nevar izmainīties tā, ka visi pietiekami lielie virknes locekļi ir kvadrāti.

Apgalvojums: (1) Dalot ar jebkuru fiksētu skaitli, Fibonači virknes locekļu atlikumi veido periodu.
(2) Periodiskajai atlikumu virknei nav priekšperioda un tajā bezgalīgi bieži parādās atlikums \(0\).

Pierādījums:

1. Katru Fibonači virknes locekļa atlikumu nosaka divu iepriekšējo locekļu atlikumi. Tiklīdz kā divu pēc kārtas sekojošu atlikumu pārītis sakrīt ar tādu, kas bijis agrāk, Fibonači virknes atlikumi sāk atkārtoties, izveidojas cikls.
2. Atlikumu virknē nevar rasties priekšperiodi, jo atlikumus var rēķināt arī pretējā secībā: no \(F_{i+2}\) un \(F_{i+1}\) atlikumiem viennozīmīgi atrodot \(F_i\) atlikumu. Tātad atlikumu virkne ir periodiska abos virzienos (nevis tikai kļūst periodiska, sākot no kādas vietas). Tā kā \(0\)-tais Fibonači skaitlis \(F_0 = 0\), tad arī atlikums \(0\) parādīsies bezgalīgi bieži (vismaz vienreiz katrā periodā).