Atrisinājums

Pārveidosim doto vienādojumu:

\[\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{ab-2(a+b)}{2ab} \Rightarrow\left(a^{2}+b^{2}\right)(ab-2(a+b))=2ab\]

Lai vienādojumam būtu atrisinājums naturālos skaitļos, nepieciešams, lai \(ab-2(a+b) \geq 1\). Tad \(a^{2}+b^{2} \leq 2ab\) un \((a-b)^{2} \leq 0\). Tas iespējams tikai tad, ja \(a=b\). Tādā gadījumā \(\frac{2}{a}+\frac{1}{2a^{2}}=\frac{1}{2}\), tāpēc \(a \geq 5\). Bet tādā gadījumā \(\frac{2}{a}+\frac{1}{2a^{2}} \leq \frac{2}{5}+\frac{1}{50}=\frac{21}{50} < \frac{1}{2}\), tāpēc vienādojumam atrisinājuma naturālos skaitļos nav.

Atrisinājums

Sākotnējie secinājumi par mainīgajiem

Pieņemam, ka \(a \leq b\) (ja tā nav, tad \(a\) un \(b\) samainām vietām).

• Ja \(a \geq 6\), tad \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2} < \frac{1}{2}\)
• Ja \(a \leq 2\), tad \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2} > \frac{1}{2}\)

• Gadījums \(a=3\):

  • Ja \(b=6\), tad \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2} > \frac{1}{2}\)
  • Pie \(b=7\), tad \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2} < \frac{1}{2}\)

• Gadījums \(a=4\):

  • Ja \(b=4\), tad \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2} > \frac{1}{2}\)
  • Ja \(b=5\), tad \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2} < \frac{1}{2}\)

Citas \(b\) vērtības var neaplūkot, jo dotajam \(a\) (\(a=3\) vai \(a=4\)) izteiksme \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a^2+b^2}\) arvien samazinās tad, ja \(b\) pieaug.