Kāds mazākais ciparu skaits jāpieraksta ciparu virknes \(3456\) beigās, lai iegūtu skaitli, kas dalās ar \(2019\)?
Mazākais ciparu skaits, kas jāpieraksta ciparu virknes beigās, ir trīs. Piemēram, skaitlis \(3456528\) dalās ar \(2019\) (\(3456528=2019 \cdot 1712\)).
Pierādīsim, ka mazāk kā trīs ciparus nevar pierakstīt dotās ciparu virknes beigās, lai izpildītos uzdevuma nosacījumi.
Skaitlis \(3456\) nedalās ar \(2019\), tāpēc dotās virknes beigās ir jāpieraksta vismaz viens cipars.
Ievērojam, ka \(17 \cdot 2019=34323<\overline{3456x}\) un \(18 \cdot 2019=36342>\overline{3456x}\), kur \(x\) - cipars. Līdz ar to ar viena cipara pievienošanu nevar izveidot skaitli, kas dalās ar \(2019\).
Līdzīgi \(171 \cdot 2019=345249<\overline{3456xy}\) un \(172 \cdot 2019=347268>\overline{3456xy}\), kur \(x\) un \(y\) - cipari. Līdz ar to ar divu ciparu pievienošanu nevar izveidot skaitli, kas dalās ar \(2019\).
Tātad esam pierādījuši, ka jāpievieno vismaz trīs cipari.
Mazākais ciparu skaits, kas jāpieraksta ciparu virknes beigās, ir trīs. Piemēram, skaitlis \(3456528\) dalās ar \(2019\) (\(3456528=2019 \cdot 1712\)).
Pierādīsim, ka mazāk kā trīs ciparus nevar pierakstīt dotās ciparu virknes beigās, lai izpildītos uzdevuma nosacījumi.
Skaitlis \(3456\) nedalās ar \(2019\), tāpēc dotās virknes beigās ir jāpieraksta vismaz viens cipars.
Ievērojam, ka \(\overline{3456x}=34560+x=17 \cdot 2019+237+x\), kur \(x\) - cipars. Tā kā \(17 \cdot 2019\) dalās ar \(2019\), tad, lai \(\overline{3456x}\) dalītos ar \(2019\), arī \((237+x)\) jādalās ar \(2019\), bet tas nav iespējams, jo \(x\) ir cipars. Līdz ar to ar viena cipara pievienošanu nevar izveidot skaitli, kas dalās ar \(2019\).
Līdzīgi apskatām skaitli \(\overline{3456xy}=345600+\overline{xy}=171 \cdot 2019+351+\overline{xy}\), kur \(x\) un \(y\) - cipari. Tā kā \(171 \cdot 2019\) dalās ar \(2019\), tad, lai \(\overline{3456xy}\) dalītos ar \(2019\), arī \((351+\overline{xy})\) jādalās ar \(2019\), bet tas nav iespējams, jo \(\overline{xy}\) ir divciparu skaitlis. Līdz ar to ar divu ciparu pievienošanu nevar izveidot skaitli, kas dalās ar \(2019\).
Piezīme. Atrast meklēto skaitli palīdz līdzīgi spriedumi, tas ir, \(3456000=1711 \cdot 2019+1491\) un \(1491+528=2019\).