Atrisinājums

Pārveidojam doto vienādojumu

\[\begin{aligned} 2000-20m & =19n-19 \\ 20(100-m) & =19(n-1) \end{aligned}\]

Ievērojam, ka iegūtās vienādības labās puses izteiksme ir pozitīva, tātad arī \((100-m)\) jābūt pozitīvam. Tā kā \(20\) un \(19\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad \((100-m)\) ir jādalās ar \(19\). lespējamās \(m\) vērtības varētu būt \(5,\ 24,\ 43,\ 62\) un \(81\), no kurām derīgas ir tikai \(5\) un \(43\), jo tie ir pirmskaitļi. Atrodam atbilstošās \(n\) vērtības: - ja \(m=5\), tad \(20 \cdot 95=19(n-1)\) jeb \(n=101\) (pirmskaitlis), - ja \(m=43\), tad \(20 \cdot 57=19(n-1)\) jeb \(n=61\) (pirmskaitlis). Tātad dotajam vienādojumam ir divi atrisinājumi: \(m=5,\ n=101\) un \(m=43,\ n=61\).

Atrisinājums

Apskatīsim doto vienādojumu pēc moduļa \(19\). Tā kā \(20m \equiv 1 \cdot m \equiv m(\bmod 19)\), \(19n \equiv 0(\bmod 19)\) un \(2019 \equiv 5(\bmod 19)\), tad, lai būtu vienādība, jāizpildās nosacījumam \(m \equiv 5(\bmod 19)\). Ievērojot, ka \(20 \cdot 101=2020>2019\), secinām, ka \(m<101\). Tātad derīgās \(m\) vērtības ir pirmskaitļi, kas mazāki nekā \(101\), un, dalot ar \(19\), dod atlikumu \(5\). Šādas vērtības ir tikai divas \(m=5\) un \(m=43\). Atrodam atbilstošās \(n\) vērtības:

• ja \(m=5\), tad \(20 \cdot 95=19(n-1)\) jeb \(n=101\) (pirmskaitlis),
• ja \(m=43\), tad \(20 \cdot 57=19(n-1)\) jeb \(n=61\) (pirmskaitlis).

Tātad dotajam vienādojumam ir divi atrisinājumi: \(m=5,\ n=101\) un \(m=43,\ n=61\).