Atrisinājums

Dalām abas dotā vienādojuma puses ar \(2\) un pārveidojam iegūto vienādojumu:

\[\begin{gathered} 10m+9n=1009 \\ 1000-10m=9n-9 \\ 10(100-m)=9(n-1) \end{gathered}\]

Ievērojam, ka iegūtās vienādības labās puses izteiksme ir pozitīva, tātad arī \((100-m)\) jābūt pozitīvam. Tā kā \(10\) un \(9\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad \((100-m)\) ir jādalās ar \(9\). Iespējamās \(m\) vērtības varētu būt \(1,\ 10,\ 19,\ 28,\ 37,\ 46,\ 55,\ 64,\ 73,\ 82\) un \(91\), no kurām derīgas ir tikai \(19,\ 37\) un \(73\), jo tie ir pirmskaitļi. Atrodam atbilstošās \(n\) vērtības: - ja \(m=19\), tad \(10 \cdot 81=9(n-1)\) jeb \(n=91\) (neder, jo nav pirmskaitlis), - ja \(m=37\), tad \(10 \cdot 63=9(n-1)\) jeb \(n=71\) (pirmskaitlis), - ja \(m=73\), tad \(10 \cdot 27=9(n-1)\) jeb \(n=31\) (pirmskaitlis). Tātad dotajam vienādojumam ir divi atrisinājumi: \(m=37, n=71\) un \(m=73, n=31\).

Atrisinājums

Izdalām abas puses ar \(2\): Iegūstam sakarību \(10m+9n=1009\).

Lai \(1009 - 9n\) dalītos ar \(10\), skaitļa \(9n\) pēdējais cipars ir "9", bet paša \(n\) pēdējais cipars ir "1".
Ievietojam visas \(n\) vērtības, kam \(1009-9n\) ir pozitīvs, un \(n\) beidzas ar ciparu "1": Tas ir iespējams pie \(n=1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101,111\).

Atrastie \((m,n)\) pāri: \((100,1)\), \((91,11)\), \((82,21)\), \((\mathbf{73},\mathbf{31})\), \((64,41)\), \((55,51)\), \((46,61)\), \((\mathbf{37},\mathbf{71})\), \((28,81)\), \((19,91)\), \((10,101)\), \((1,111)\).

Tikai divos pāros abi skaitļi ir pirmskaitļi: \((m,n)\) var būt \((73,31)\) vai \((37,71)\).