Atrisinājums

Lielākais nuļļu skaits ir \(5\). To var iegūt, piemēram, \(257899+327686+314415=900000\).

Pierādīsim, ka ar vairāk kā \(5\) nullēm skaitļu summa nevar beigties.

Ja izveidotos skaitļus apzīmē ar \(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}, \overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}b_{6}}\) un \(\overline{c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}c_{6}}\), tad to summa izsakāma kā

\[\begin{aligned} S= & \left(a_{1}+b_{1}+c_{1}\right) \cdot 10^{5}+\left(a_{2}+b_{2}+c_{2}\right) \cdot 10^{4}+\left(a_{3}+b_{3}+c_{3}\right) \cdot 10^{3}+\left(a_{4}+b_{4}+c_{4}\right) \cdot 10^{2}+ \\ & +\left(a_{5}+b_{5}+c_{5}\right) \cdot 10+\left(a_{6}+b_{6}+c_{6}\right) \end{aligned}\]

Ņemot vērā, ka visu izmantoto ciparu summa ir \(45 \cdot 2=90\), iegūstam

\[\begin{aligned} S= & 99999\left(a_{1}+b_{1}+c_{1}\right)+9999\left(a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)+999\left(a_{3}+b_{3}+c_{3}\right)+99\left(a_{4}+b_{4}+c_{4}\right)+9\left(a_{5}+b_{5}+\right. \\ & \left.+c_{5}\right)+\left(a_{1}+b_{1}+c_{1}+a_{2}+b_{2}+c_{2}+a_{3}+b_{3}+c_{3}+a_{4}+b_{4}+c_{4}+a_{5}+b_{5}+c_{5}+a_{6}+b_{6}+c_{6}\right)= = & 99999\left(a_{1}+b_{1}+c_{1}\right)+9999\left(a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)+999\left(a_{3}+b_{3}+c_{3}\right)+99\left(a_{4}+b_{4}+c_{4}\right)+ \\ & +9\left(a_{5}+b_{5}+c_{5}\right)+90 \end{aligned}\]

Tātad izveidoto skaitļu summa \(S\) dalās ar \(9\). Trīs sešciparu skaitļu summa ir mazāka nekā \(3\ 000\ 000\), jo katrs saskaitāmais ir mazāks nekā \(1\ 000\ 000\). Vienīgie divi skaitļi ar sešām nullēm beigās, kas mazāki nekā \(3\ 000\ 000\), ir \(1\ 000\ 000\) un \(2\ 000\ 000\), kas nedalās ar \(9\). Tāpēc summa \(S\) nevar beigties ar sešām nullēm. *Piezīmes.* 1) Der arī \(493862+511382+794756=1800000\) un \(921478+925176+853346=2700000\). 2) Vajadzīgo piemēru var atrast, piemeklējot ciparus, sākot ar skaitļu pēdējo ciparu.

Atrisinājums

Katrs sešciparu skaitlis ir mazāks par 1 miljonu. \(3\) šādu skaitļu summa ir zem \(10\) miljoniem - ne vairāk kā 7-ciparu skaitlis. Vai šāds skaitlis var beigties ar \(6\) nullēm? Nē nevar, jo ciparu summas dēļ šādam skaitlim būtu jādalās ar \(9\), bet summa \(9000000\) būtu par lielu.

Vai var beigties ar \(5\) nullēm? Konstruējam, ikreiz liekot mazākos iespējamos ciparus. Sarkanās bultiņas norāda secību, kādā cipari tiek ierakstīti, lai izpildītu prasības par ciparu atkārtošanos un arī piecām nullēm beigās.