Sākums

LV.NOL.2016.10.2

Pierādīt, ka no jebkuriem trim naturālu skaitļu kvadrātiem var izvēlēties divus tā, ka to summa vai starpība dalās ar \(5\).

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Vispirms noskaidrosim, ar ko var būt kongruents naturāla skaitļa kvadrāts pēc moduļa \(5\).

\(n(\bmod 5)\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(n^{2}(\bmod 5)\) \(0\) \(1\) \(4\) \(4\) \(1\)

Tātad naturāla skaitļa kvadrāts pēc moduļa \(5\) var būt kongruents ar \(0,\ 1\) vai \(4\).

  • Ja divi kvadrāti dod vienādu atlikumu, dalot ar \(5\), tad to starpība dalās ar \(5\).
  • Ja nekādi divi no šiem trim kvadrātiem nav kongruenti pēc moduļa \(5\), tad tie pēc moduļa \(5\) pieņem visas iespējamās vērtības \(0,\ 1\) un \(4\). Tā kā \(1+4=5\), tad šo atbilstošo kvadrātu summa dalīsies ar \(5\).