Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(1 \cdot 4=1 \cdot 2^{2}\) jeb \(4=4\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka vienādība izpildās, ja \(n=k\), tas ir,

\[1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+k \cdot(3 k+1)=k(k+1)^{2}\]

*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka vienādība ir spēkā arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir, \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+(k+1) \cdot(3(k+1)+1)=(k+1)((k+1)+1)^{2}\) jeb \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+(k+1) \cdot(3k+4)=(k+1)(k+2)^{2}\) Pārveidojam vienādības kreisās puses izteiksmi: \(\underbrace{1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+k \cdot(3k+1)}_{induktīvais\ pieņēmums}+(k+1) \cdot(3k+4)=k(k+1)^{2}+(k+1) \cdot(3k+4)=\) \(=(k+1)(k(k+1)+3k+4)=(k+1)\left(k^{2}+4k+4\right)=(k+1)(k+2)^{2}\). *Secinājums.* Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka vienādība ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.

Atrisinājums

Ekvivalenti pārveidojot doto vienādību, iegūstam

\(\sum_{k=1}^{n}k(3k+1)=\sum_{k=1}^{n}\left(3k^{2}+k\right)=\sum_{k=1}^{n}3k^{2}+\sum_{k=1}^{n}k=\frac{3n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\)

\(=\frac{n(n+1)}{2}(2n+1+1)=n(n+1)^{2}\).

Pārveidojumos tika izmantots, ka \(n\) pēc kārtas esošu naturālu skaitļu kvadrātu summa ir \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Atrisinājums

Definējam virkni

\[a_n = 1\cdot{}4 + 2\cdot{}7 + 3\cdot{}10 + \cdots + n\cdot{}(3n + 1)\]

Katrs nākamais šīs virknes loceklis ir par \(n\cdot{}(3n+1)\) lielāks kā iepriekšējais. Tikpat liela ir starpība starp \(n(n+1)^2\) un izteiksmi, kur \(n\) aizstāj ar \(n-1\): \((n-1)n^2\):

\[n(n+1)^2 - (n-1)n^2 = n(n^2 + 2n + 1) - n^3 + n^2 =\]

\[= n^3+2n^2+n - n^3+n^2 = 3n^2 + n = n(3n+1).\]

Spriedums ar matemātisko indukciju **Bāze:** Ja \(n=1\), tad \(a_1 = 1\cdot{}4 = 4\) un arī \(n(n+1)^2 = 4\). **Pāreja:** Palielinot \(n\) par \(1\), gan virkne \(a_n\), gan formula \(n(n+1)^2\) pieaug vienādiem soļiem.