Atrisinājums

(A) Jā, piemēram, var ņemt \(x=4\), tad

\[x=4=2^{2}; \quad x+23=27=3^{3}; \quad x+45=49=7^{2} ; \quad x+121=125=5^{3}.\]

**(B)** Ievērosim: ja \(y\) ir pāra skaitlis un vienlaikus vesela skaitļa pakāpe ar kāpinātāju, kas ir lielāks nekā \(1\), tad \(y\) dalās ar \(4\) (t. i., \(y=a^{n}\) kādam veselam skaitlim \(a\) un naturālam \(n \geq 2\); ja \(y\) ir pāra skaitlis, tad \(a\) arī ir pāra skaitlis, līdz ar to \(a^{n}\) dalās ar \(2^{n}\) dalās ar \(4\), jo \(n \geq 2\)). Pieņemsim pretējo, ka eksistē tāds \(x\), ka visi skaitļi \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\) ir veselu skaitļu pakāpes ar kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\). Tieši viens no skaitļiem \(x,\ x+23\) ir pāra skaitlis; aplūkosim abus iespējamos gadījumus. - Ja \(x\) ir pāra skaitlis, tad tas dalās ar \(4\), pēc iepriekš pamatotā. Taču tad \(x+46=(x+44)+2\) nedalās ar \(4\), tātad nevar būt vesela skaitļa pakāpe ar kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) - pretruna. - Ja \(x+23\) ir pāra skaitlis, tad tas dalās ar \(4\), saskaņā ar iepriekš pamatoto. Taču tad \(x+121=((x+23)+96)+2=((x+23)+4 \cdot 24)+2\) nedalās ar \(4\), tātad nevar būt vesela skaitļa pakāpe ar kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) - pretruna. Tātad neeksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\) ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\).

Atrisinājums

(A) Ievietojam nelielas vērtības. Ievērojam, ka \(x\) arī ir vesela skaitļa pakāpe. Ievietojam \(x=1,4,8,9,16,25,32,36,49,\ldots\). Der jau \(x=4\) (pirmajā piemērā)

(B) Noskaidrojam, vai \(x\) un \(x+46\) var vienlaikus būt naturālu skaitļu pakāpes?

• Ja \(x\) ir pāru, tad gan \(x\), gan \(x+46\) dalās ar \(4\) (tā ir pretruna, jo \(46\) nedalās ar \(4\)).
• Ja \(x\) ir nepāru, tad gan \(x+23\), gan \(x+121\) dalās ar \(4\) (tā ir pretruna, jo starpība \(121-23 = 98\) nedalās ar \(4\)).