Atrisinājums

Izmantojam aritmētiskās progresijas locekļu summas formulu:

\[S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n\]

ko, lietojot sakarību \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\), var pārrakstīt formā:

\[S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2} \cdot n\]

Mazāko no skaitļiem apzīmējam ar \(a\). Ievērojam ka diference \(d=1\), tāpēc iegūstam \(S_{n}=\frac{2a+n-1}{2} \cdot n\) jeb \(2S_{n}=(2a-1+n) \cdot n\) Tā kā pēc uzdevumā dotā \(S_{n}=177\), tad iegūstam vienādojumu:

\[\begin{aligned} & (2a-1+n) \cdot n=2 \cdot 177 \\ & (2a-1+n) \cdot n=2 \cdot 3 \cdot 59 \end{aligned}\]

Mazākais no diviem reizinātājiem vienādības kreisajā pusē ir \(n\), jo \(a\) un \(n\) ir naturāli skaitļi. Vērtība \(n=1\) neder, jo tad ir tikai viens saskaitāmais, tāpēc \(n\) var pieņemt tikai trīs vērtības: \(2,\ 3\) un \(6\). Aprēķinām, kādas vērtības var pieņemt \(a\): - \(n=2 \Rightarrow 2a+1=3 \cdot 59 \Rightarrow 2a=176 \Rightarrow a=88\); - \(n=3 \Rightarrow 2a+2=2 \cdot 59 \Rightarrow 2a=116 \Rightarrow a=58\); - \(n=6 \Rightarrow 2a+5=59 \Rightarrow 2a=54 \Rightarrow a=27\). Tātad mazākais no saskaitāmajiem var būt \(88,\ 58\) vai \(27\).

Atrisinājums

Aritmētiskas progresijas locekļu summa

\[S=a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot{}n\]

> Aritmētiskās progresijas summu iegūst, reizinot "vidējo elementu": > \(a_v = \frac{a_1+a_n}{2}\) ar progresijas locekļu skaitu: \(S = a_v\cdot{}n\). > Ja \(n\) ir nepāru skaitlis, tad vidējais elements \(a_v\) tiešām progresijā ir. > Ja \(n\) ir nepāru skaitlis, tad "vidējais elements" ir abu vidējo locekļu > aritmētiskais vidējais. Abos gadījumos \(2\cdot{}177 = (a_1+a_n)\cdot{}n\) jeb

\[2 \cdot 3 \cdot 59 = (a_1+a_n)\cdot{}n\]

Skaitlim \(2 \cdot 3 \cdot 59\) ir tikai galīgs skaits dalītāju \(n\). Gadījumu pārlase: * Ja \(n=2\), tad \(177 = 88\frac{1}{2}\cdot{}2 = 88+89\), * Ja \(n=3\), tad \(177 = 59\cdot{}3 = 58+59+60\), * Ja \(n=6\), tad \(177 = 29\frac{1}{2}\cdot{}6=27+28+29+30+31+32\). Vēl lielāki \(2 \cdot 3 \cdot 59\) dalītāji (\(n=59\) u.c.) novestu pie ļoti garām aritmētiskām progresijām, kurās būtu arī negatīvi locekļi. Tās neder, jo \(177\) bija vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa.