Cik starp pirmajiem \(2013\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\)?
Atbilde: \(162\).
\(111=3 \cdot 37\), tāpēc vienam no skaitļiem \(x, x+1\) vai \(x+2\) jādalās ar \(37\). (Starp trīs pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem viens noteikti dalās ar \(3\), tāpēc dotais reizinājums vienmēr dalās ar \(3\).)
No \(1\) līdz \(2013\) ir \(54\) skaitļi, kas dalās ar \(37\) (lielākais \(1998\)).
Tātad \(54\) veidos var izvēlēties tādu \(x\), kas dalās ar \(37\), \(54\) veidos- tādu \(x\), ka \(x+1\) dalās ar \(37\) un \(54\) veidos- tādu \(x\), ka \(x+2\) dalās ar \(37\), t.i., pavisam ir \(54+54+54=162\) tādi skaitļi \(x\), ka \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\).
\(x(x+1)(x+2)\) vienmēr dalās ar \(3\), bet tam jādalās arī ar \(37\). Tādu \(x\) ir trīsreiz vairāk kā \(\left\lfloor 2013/37 \right\rfloor\).