Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).
Pie \(y \geq 4\) labā puse dalās ar \(2\), bet nedalās ar \(8\). Kreisajai pusei \(2\) jāsatur kā reizinātāju \(3., 6., 9., \ldots\) pakāpē, tāpēc atrisinājuma nav. Atliek pārbaudīt \(y=1; 2; 3\). Iegūstam atrisinājumu \(x=2; y=3\).
Sastádám faktoriālu un pilno kubu tabulas
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 | | \)y\( | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | ------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ----- | | \)y! | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 | 40320 | ||
| \(y!+2\) | 3 | 4 | 8 | 26 | 122 | 722 | 5042 | 40322 |
Redzam, ka \(2^3 = 3!+2\) (ja \(x=2, y=3\)).
Vai ir citas saknes, kur \(y>3\)? Aplūkojam \(x\) paritāti. Vienīgā iespēja: \(x\) ir pāru skaitlis: \(x=2k\).