Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?
Ievērojam, ka \((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=a^{2} \cdot a-3ab(a-b)-b^{2} \cdot b\). Tā kā \(a^{2}\) dalās ar \(b\), tad \(a^{2} \cdot a\) dalās ar \(ab\); tā kā \(b^{2}\) dalās ar \(a\), tad \(b^{2} \cdot b\) dalās ar \(ab\). Tātad arī visa izteiksme dalās ar \(ab\).
Ja \(a=4\) un \(b=2\), tad \((a-b)^{2}\) nedalās ar \(ab\).
(A) Rakstām algebrisku pārveidojumu:
\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]
Katrs no \(4\) saskaitāmajiem dalās ar \(ab\): * \(\frac{a^3}{ab} = \frac{a^2}{b}\) (zināms, ka dalās) * \(\frac{3a^2b}{ab} = 3a\) un \(\frac{3ab^2}{ab}=3b\) (abus var saīsināt) * \(\frac{b^3}{ab} = \frac{b^2}{a}\) (zināms, ka dalās) **(B)** * Ja \(a=9\), \(b=3\), tad \((a-b)^2 = 36\) nedalās ar \(ab=27\). * Ja \(a=18\), \(b=12\), tad \((a-b)^2 = 36\) nedalās ar \(ab=216\).