Atrisinājums

Ievērosim, ka \(113^{113}=\left(113^{4}\right)^{28} \cdot 113\) un \(113^{4}\) beidzas ar ciparu \(1\left(3^{4}=81\right)\). Tāpēc \(113^{113}\) beidzas ar ciparu \(3\). Līdzīgi \(19^{19}=\left(19^{2}\right)^{9} \cdot 19=(\ldots 1)^{9} \cdot 19\) beidzas ar ciparu \(9\). Tāpēc \(113^{113}-19^{19}\) beidzas ar ciparu \(4\).

Piezīme. Skaitļa \(113\) pakāpju pēdējie cipari mainās periodiski tā: \((1,3,9,7)\).
Savukārt skaitļa \(19\) pakāpju pēdējie cipari mainās tā: \((1,9)\).
Ja to ievēro, tad var atrast \(113^{113}\) un \(19^{19}\) pēdējos ciparus.