Sākums

LV.NOL.2006.8.3

Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Nē. Apskatām \(4\) pēc kārtas uzrakstītus skaitļus \(a,\ b,\ c,\ d\). Tā kā \(a+b+c\) un \(b+c+d\) abi dalās ar \(4\), tad \(a\) un \(d\) jādod vienādi atlikumi, dalot ar \(4\). Tātad skaitļiem, kas rindā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 11.,\ \ldots,\ 2005.\) vietā, jādod vienādi atlikumi, dalot ar \(4\); šo vietu ir \(668\). Bet skaitļiem no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot, dalot tos ar \(4\), atlikumi \(1\) un \(2\) ir \(502\) reizes, bet atlikumi \(3\) un \(0\) - \(501\) reizi.

Piezīme: Atlikumi, dalot ar \(4\) šādā virknē atkārtosies ar periodu \(3\), t.i. viens no atlikumiem neparādīsies vispār.