Naturālu skaitli \(n\) sauc par īpašu, ja tas ir vienāds ar četru savu dažādu dalītāju summu.
(A) atrodiet kaut vienu īpašu skaitli,
(B) pierādiet, ka īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādiet, ka visi īpaši skaitļi ir pāra.
(A) \(12=1+2+3+6\)
(B) \(12n=n+2n+3n+6n\)
(C) ja \(a\) - nepāra skaitlis, tad visi tā dalītāji arī ir nepāra skaitļi. Bet četru nepāra skaitļu summa ir pāra skaitlis, tātad nav \(a\).
Piezīme: Par pusperfektiem skaitļiem sauc naturālus skaitļus, kas vienādi ar dažu savu dalītāju summu: Semiperfect number
Īpašu skaitļu ir bezgalīgi daudz, jo \(n=n/2+n/3+n/7+n/42\). Tātad visi skaitļi formā \(42k\) ir īpaši.
(C) Nav nepāra īpašu skaitļu, jo pat lielākie iespējamie dalītāji ir par mazu:
\[\frac{n}{3}+\frac{n}{5}+\frac{n}{7}+\frac{n}{9} < n.\]
Ievērojam arī, ka nepāra skaitļiem visi dalītāji ir nepāra (pie tam nepāra skaitļa dalījums ar nepāra skaitli ir nepāra skaitlis). Bet četru nepāru summa nevar būt pāru.