Atrisinājums

Apzīmēsim divus viens otram sekojošus palindromus, kuru starpība ir pirmskaitlis, ar \(a\) un \(b\), \(a. Pieņemsim, ka \(a\) sākas (tatad arī beidzas) ar ciparu \(x\), bet \(b\) - ar ciparu \(y\). Patvaļīga naturāla skaitļa \(z\) ciparu skaitu apzīmēsim ar \(|z|\).

Starpība \(b-a\) var būt \(11\) (piemēram, \(22-11=11\)) un \(2\) (piemēram, \(101-99=2\)). Pierādīsim, ka citu iespēju nav. Ja \(a<100\), to pārbauda tieši. Pieņemam, ka \(a>100\). Ja būtu \(x=y\), tad \(b-a\) dalītos ar \(10\) un nebūtu pirmskaitlis. Tāpēc \(x \neq y\). Šķirojam divas iespējas.

A. \(x. Tad \(x+1=y\) (pretējā gadījumā starp \(a\) un \(b\) atrastos palindroms \(\underline{zzz \ldots z}\), kur \(z=x+1\)). Tad jābūt \(a=\overline{x99 \ldots 9x}\) (pretējā gadījumā starp \(a\) un \(b\) atrastos palindroms \(\overline{x99 \ldots 9x}\)); tad \(b=\overline{y00 \ldots 0y}\) un \(b-a=11\).

B. \(x>y\). Tad \(|b| \geq|a|+1\). Jābūt \(a=\underbrace{999 \ldots 9}_{t\ rizes}\), un tad noteikti \(b=\underbrace{100 \ldots 01}_{t-1\ reizi}\) (ja būtu citādi, tad starp \(a\) un \(b\) atrastos palindroms \(\underbrace{999 \ldots 9}_{|a|}\)). Tad \(b-a=2\).