Sākums

LV.AMO.2019.9.5

Vai eksistē tāds kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kuram ir sakne

\[(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})?\]

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Dotās izteiksmes pirmajās iekavās esošo izteiksmi izsakām kā

\[(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})=(\sqrt{2020}-\sqrt{2019})-(\sqrt{2019}-\sqrt{2018})\]

Pakāpeniski aprēķinām dotās izteiksmes vērtību, iekavas sareizinot, izmantojot kvadrātu starpības formulu \(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\) un kopīgā reizinātāja iznešanu pirms iekavām:

\[\begin{aligned} & \quad(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})= \\ & =((\sqrt{2020}-\sqrt{2019})-(\sqrt{2019}-\sqrt{2018})) \\ & =(\sqrt{2020}-\sqrt{2019})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})- \\ & \quad-(\sqrt{2019}-\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})= \\ & =(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})-(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})= \\ & =(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})(\sqrt{2018}-\sqrt{2020})=-2 \end{aligned}\]

Tātad jāatrod kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kura sakne ir \(x=2\). Der, piemēram, kvadrātvienādojums \(x^{2}+3x+2=0\), kura saknes ir \(x_{1}=-2\) un \(x_{2}=-1\).