Atrisinājums

Mazākā šāda \(n\) vērtība \(11\). Ja \(n=11\), tad \(10^{11}=1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 16 \cdot 5^{10}\). Pierādīsim, ja \(n<11\), tad \(10^{n}\) šādā formā izteikt nevar.

Ievērojam, ka \(10^{n}=2^{n} \cdot 5^{n}\). Tātad katru no septiņiem reizinātājiem var izteikt formā \(2^{x} \cdot 5^{y}\), kur \(x, y\) ir nenegatīvi veseli skaitļi. Ievērojam, ka neviena šādā formā izteikta reizinātāja pēdējais cipars nevar būt ne \(3\), ne \(7\), ne \(9\) (ja skaitlis beidzas ar \(3, 7\) vai \(9\), tad tas nedalās ne ar \(2\), ne ar \(5\) ). Tātad kā reizinātāju pēdējie cipari jāizmanto visi atlikušie septiņi cipari: \(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8\). Aplūkosim tos \(5\) reizinātājus, kas beidzas ar \(0, 2, 4, 6, 8\), apzīmēsim tos ar \(a_{0}, a_{2}, a_{4}, a_{6}\), un \(a_{8}\). Ievērojam, ka neviens no tiem, izņemot \(a_{0}\), nedalās ar \(5\), tātad tie visi (izņemot \(a_{0}\) ) ir divnieka pakāpes.

Tā kā \(a_{0}\) beidzas ar \(0\), tad tas dalās ar \(2\).

Tā kā \(a_{2}\) beidzas ar \(2\), tad tas dalās ar \(2\).

Reizinātājs \(a_{4}\) noteikti dalās ar \(4\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(4\), ir \(2^{2}=4\).

Reizinātājs \(a_{6}\) noteikti dalās ar \(16\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(6\), ir \(2^{4}=16\).

Reizinātājs \(a_{8}\) noteikti dalās ar \(8\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(8\), ir \(2^{3}=8\).

Tātad \(a_{0} \cdot a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} \cdot a_{8}\) noteikti dalās ar \(2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 16 \cdot 8=2^{11}\).

Tā kā \(10^{n}\) dalās ar \(a_{0} \cdot a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} \cdot a_{8}\), tad arī \(10^{n}\) dalās ar \(2^{11}\). Tātad \(n\) nevar būt mazāks kā \(11\).