Sākums

LV.AMO.2019.12.2

Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(144\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:

  • nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
  • nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.

Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs - pirmais vai otrais - vienmēr var uzvarēt?

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Pamatosim, ka vienmēr var uzvarēt pirmais spēlētājs.

Ievērojam, ka \(144=2^{4} \cdot 3^{2}\) un uzrakstām visus skaitļa \(144\) dalītājus augošā secībā:

\[1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144\]

Pirmais spēlētājs savā pirmajā gājienā uz tāfeles uzraksta dalītāju \(12\) (kas ir vidējais loceklis dalītāju rindā), pēc tam pirmais spēlētājs visus atlikušos dalītājus sadala pāros tā, ka katra pāra skaitļu reizinājums ir \(144\): \(1\) un \(144\) \(3\) un \(48\) \(6\) un \(24\) \(9\) un \(16\) \(2\) un \(72\) \(4\) un \(36\) \(8\) un \(18\) Ja otrais spēlētājs uzraksta kādu dalītāju \(d\), tad pirmais spēlētājs uzraksta dalītāju \(\frac{144}{d}\) (otru attiecīgā pāra skaitli). Ievērojam, ka katra pāra skaitļu attiecība nav ne \(2\), ne \(3\). Pamatosim, ka pirmais spēlētājs var uzrakstīt skaitli \(\frac{144}{d}\), kas atbilst nosacījumiem. Pirmkārt, tā kā otrais spēlētājs varēja uzrakstīt \(d\), tad ne \(2d\), ne \(3d\), ne \(\frac{d}{2}\), ne \(\frac{d}{3}\) (ja tie ir naturāli) līdz viņa gājienam nebija uzrakstīti. Tāpēc arī atbilstošie otri skaitļi katrā no šiem pāriem \(\frac{144}{2d}=\frac{\frac{144}{d}}{2}\), \(\frac{144}{3d}=\frac{\frac{144}{d}}{3}, \frac{144}{\frac{d}{2}}=2 \cdot \frac{144}{d}\) un \(\frac{144}{\frac{d}{3}}=3 \cdot \frac{144}{d}\) līdz šim nebija uzrakstīti. Tātad pirmais spēlētājs varēs izdarīt gājienu, ja vien to varēs izdarīt otrais spēlētājs. Tā kā skaitlim \(144\) ir galīgs skaits dalītāju, tad gājieni pietrūks otrajam spēlētājam un viņš zaudēs.

Atrisinājums

  • Visi dalītāji veido taisnstūrainu struktūru, kur reizināšana ar \(2\) ir virzīšanās pa vienu asi, bet reizināšana ar \(3\) - pa otru.
  • Šajā tainstūrī ir simetrijas centrs: \(12 = \sqrt{144}\).
  • Pirmais spēlētājs sāk ar \(12\), pēc tam uz katru dalītāju \(d\) atbild ar \(144/d\).