Atrisinājums

Skaitļu summu apzīmēsim ar \(N\). Pieņemsim, ka esam atraduši lielāko iespējamo reizinājumu \(a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{k}\), kuram \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}=N\). Aplūkosim, kādi skaitļi nevar ietilpt šajā reizinājumā.

• Reizinājumā nevar būt skaitlis \(1\), jo, pieskaitot to jebkuram citam reizinātājam, iegūsim lielāku reizinājumu pie tādas pašas summas. Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(a_{1}=1\), tad \(1 \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{k}<\left(a_{2}+1\right) \cdot \ldots \cdot a_{k}\), iegūta pretruna, jo \(a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{k}\) ir lielākais iespējamais reizinājums.
• Reizinājumā nevar būt skaitļi, kas lielāki nekā \(3\). Ja ir kāds reizinātājs \(a_{i} \geq 4\), tad, aizvietojot to ar reizinātājiem \(2\) un \(\left(a_{i}-2\right)\), summa nemainās, bet reizinājums vismaz nesamazinās, jo \(2\left(a_{i}-2\right)=a_{i}+\left(a_{i}-4\right) \geq a_{i}\).
• Reizinājumā ir ne vairāk kā divi reizinātāji \(2\). Ja būtu vairāk nekā trīs reizinātāji \(2\), tad, \(2 \cdot 2 \cdot 2\) aizvietojot ar \(3 \cdot 3\) reizinājums palielinās, bet summa nemainās.

Tātad, ja reizinājums ir maksimālais, tad tajā visi reizinātāji ir trijnieki, izņemot varbūt \(1\) vai \(2\) divnieki.

Var ievērot, ka katru skaitli \(N\) šādā formā (kā summu no trijniekiem un varbūt viena vai diviem divniekiem) var izteikt vienā vienīgā veidā.

1. Ja \(N=3n\), tad to var izteikt kā \(n\) trijnieku summu.
2. Ja \(N=3n+1\), tad to var izteikt kā \((n-1)\) trijnieka un divu divnieku summu.
3. Ja \(N=3n+2\), tad to var izteikt, kā \(n\) trijnieku un divnieka summu.

Līdz ar to esam ieguvuši, ka

(A) ja skaitļu summa ir \(2019=3 \cdot 673\), tad šo skaitļu lielākais iespējamais reizinājums ir \(3^{673}\),

(B) ja skaitļu summa ir \(2020=3 \cdot 673+1\), tad šo skaitļu lielākais iespējamais reizinājums ir \(4 \cdot 3^{672}\).