Atrisinājums

Pamatosim, ka vienmēr var uzvarēt otrais spēlētājs.

Ievērojam, ka \(216=2^{3} \cdot 3^{3}\) un uzrakstām visus skaitļa \(216\) dalītājus augošā secībā:

\[1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216\]

Otrais spēlētājs visus dalītājus sadala pāros tā, ka katra pāra skaitļu reizinājums ir \(216\): \(1\) un \(216\) \(3\) un \(72\) \(6\) un \(36\) \(9\) un \(24\) \(2\) un \(108\) \(4\) un \(54\) \(8\) un \(27\) \(12\) un \(18\) Ja pirmais spēlētājs uzraksta kādu dalītāju \(d\), tad otrais spēlētājs uzraksta dalītāju \(\frac{216}{d}\) (otru attiecīgā pāra skaitli). Ievērojam, ka katra pāra skaitļu attiecība nav ne \(2\), ne \(3\). Pamatosim, ka otrais spēlētājs var uzrakstīt skaitli \(\frac{216}{d}\), kas atbilst nosacījumiem. Pirmkārt, tā kā pirmais spēlētājs varēja uzrakstīt \(d\), tad ne \(2d\), ne \(3d\), ne \(\frac{d}{2}\), ne \(\frac{d}{3}\) (ja tie ir naturāli) līdz viņa gājienam nebija uzrakstīti. Tāpēc arī atbilstošie otri skaitļi katrā no šiem pāriem \(\frac{216}{2d}=\frac{\frac{216}{d}}{2}, \frac{216}{3d}=\frac{\frac{216}{d}}{3}, \frac{216}{\frac{d}{2}}=2 \cdot \frac{216}{d}\) un \(\frac{216}{\frac{d}{3}}=3 \cdot \frac{216}{d}\) līdz šim nebija uzrakstīti. Tātad otrais spēlētājs varēs izdarīt gājienu, ja vien to varēs izdarīt pirmais spēlētājs. Tā kā skaitlim \(216\) ir galīgs skaits dalītāju, tad gājieni pietrūks pirmajam spēlētājam un viņš zaudēs.