Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?
Atradīsim, kādām \(n\) vērtībām izteiksmes \(n^{2}+n+19\) vērtība atrodas starp divu blakusesošu naturālu skaitļu kvadrātiem, tas ir, starp \(n^{2}\) un \((n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\). Ievērojam, ka \(n^{2} < n^{2}+n+19\) ir patiesa visiem naturāliem \(n\) un nevienādība \(n^{2}+n+19 < n^{2}+2n+1\) ir patiesa, ja \(n > 18\). Tātad, ja \(n > 18\), tad izteiksmes \(n^{2}+n+19\) vērtība atrodas starp divu blakusesošu naturālu skaitļu kvadrātiem un tā nevar būt naturāla skaitļa kvadrāts.
Līdzīgi iegūstam, ja \(5 < n < 18\), tad \((n+1)^{2}=n^{2}+2n+1 < n^{2}+n+19 < n^{2}+4n+4=(n+2)^{2}\). Tātad izteiksmes vērtība atrodas starp divu pēc kārtas esošu naturālu skaitļu kvadrātiem, līdz ar to nav naturāla skaitļa kvadrāts.
Apskatām atlikušās \(n\) vērtības, tas ir, vērtības \(1, 2, 3, 4, 5, 18\).
| \(\boldsymbol{n}\) | \(\boldsymbol{n}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{n}+\mathbf{19}\) |
|---|---|
| \(\mathbf{1}\) | \(21\) |
| \(\mathbf{2}\) | \(25=5^{2}\) |
| \(\mathbf{3}\) | \(31\) |
| \(\mathbf{4}\) | \(39\) |
| \(\mathbf{5}\) | \(49=7^{2}\) |
| \(\mathbf{18}\) | \(361=19^{2}\) |
Līdz ar to esam ieguvuši, ka izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir naturāla skaitļa kvadrāts, ja \(n\) ir \(2; 5\) vai \(18\).
Piezīme. Otrā novērtējuma vietā var arī pārbaudīt \(n\) vērtības \(1,2,3, \ldots, 18\).