Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(1 \cdot 2 \cdot 3=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4}\) jeb \(6=6\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka vienādība izpildās, ja \(n=k\), tas ir,

\[6+24+60+\cdots+k(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}\]

*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka vienādība ir spēkā arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir,

\[6+24+60+\cdots+(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\]

Pārveidosim vienādības kreisās puses izteiksmi:

\[\begin{gathered} \underbrace{6+24+60+\cdots+k(k+1)(k+2)}_{induktīvais\ pieņēmums}+(k+1)(k+2)(k+3)= \\ =\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)\left(\frac{k}{4}+1\right)= \\ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \end{gathered}\]

*Secinājums.* Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka vienādība ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.