Atrisinājums

Ievērojam, ka \(252=4 \cdot 7 \cdot 9\) un visi reizinātāji ir savstarpēji pirmskaitļi. Tātad pietiek pierādīt, ka \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(4,\ 7\) un \(9\). Sadalām izteiksmi \(x^{8}-x^{2}\) reizinātājos:

\(x^{8}-x^{2}=x^{2}\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)=x^{2}(x-1)(x+1)(x(x+1)+1)(x(x-1)+1)=\)
\(=x^{2}(x-1)(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\)

Apskatām reizinātājus pēc moduļa \(3\).

Katrā rindā divi no reizinātājiem dalās ar \(3\), tātad reizinājums dalās ar \(9\).

Ievērojot, ka \(x^{8}-x^{2}=x^{2}\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)\), apskatām reizinātājus pēc moduļa \(7\).

Katrā rindā viens reizinātājs dalās ar \(7\), tātad arī reizinājums dalās ar \(7\).

Ja \(x\) ir pāra skaitlis, tad \(x^{2}\) dalās ar \(4\). Ja \(x\) ir nepāra skaitlis, tad \(x-1\) un \(x+1\) ir pāra skaitļi un tad ar \(4\) dalās to reizinājums.

Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).

Piezīme: Pamatojot polinoma vērtības dalāmību ar \(8\), \(7\) un \(9\), pietika aplūkot pa vienam atlikumam no katras kongruenču klases. Tas seko no šāda apgalvojuma:

Apgalvojums: Ja \(P(x)\) ir polinoms ar veseliem koeficientiem, ja \(x_1, x_2, m\) ir naturāli skaitļi, pie tam \(x_1\) un \(x_2\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\) , tad arī polinomu vērtības \(P(x_1)\) un \(P(x_2)\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\):

\[x_1 \equiv x_2 \pmod m\;\;\Rightarrow\;\;P(x_1) \equiv P(x_2) \pmod m\]

Atrisinājums

Ievērojam, ka \(252=4 \cdot 7 \cdot 9\) un visi reizinātāji ir savstarpēji pirmskaitļi. Tātad pietiek pierādīt, ka \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(4,\ 7\) un \(9\). Sadalām izteiksmi \(x^{8}-x^{2}\) reizinātājos:

\(x^{8}-x^{2}=x^{2}\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)=x^{2}(x-1)(x+1)(x(x+1)+1)(x(x-1)+1)=\)
\(=x^{2}(x-1)(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\)

Pierādīsim, ka (*) dalās ar \(4\). Ja \(x\) ir pāra skaitlis, tad \(x^{2}\) dalās ar \(4\). Ja \(x\) ir nepāra skaitlis, tad \(x-1\) un \(x+1\) ir pāra skaitļi un tad ar \(4\) dalās to reizinājums.

Pierādīsim, ka (*) dalās ar \(9=3 \cdot 3\). Skaitlis, dalot to ar \(3\), var dot trīs dažādus atlikumus: \(0,\ 1,\ 2\). Apskatām visus šos gadījumus.

• Ja \(x=3k,\ k \in \mathbb{Z}\), tad \(x^{2}=9k^{2}\) un (*) dalās ar \(9\).
• Ja \(x=3k+1,\ k \in \mathbb{Z}\), tad \(x-1=3k\) (dalās ar \(3\)) un \(x^{2}+x+1=9k^{2}+9k+3\) (dalās ar \(3\)), tātad (*) dalās ar \(9\).
• Ja \(x=3k+2,\ k \in \mathbb{Z}\), tad \(x+1=3k+3\) (dalās ar \(3\)) un \(x^{2}-x+1=9k^{2}+9k+3\) (dalās ar \(3\)), tātad (*) dalās ar \(9\).

Pierādīsim, ka (*) dalās ar \(7\). Skaitlis, dalot to ar \(7\), var dot septiņus dažādus atlikumus: \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\). Apskatām visus šos gadījumus.

• Ja \(x=7k,\ k \in \mathbb{Z}\), tad (*) dalās ar \(7\).
• Ja \(x=7k+1\) vai \(x=7k+2\), vai \(x=7k+4,\ k \in \mathbb{Z}\), tad \(x^{3}-1\) dalās ar \(7\) un tātad (*) dalās ar \(7\).
• Ja \(x=7k+3\) vai \(x=7k+5\), vai \(x=7k+6,\ k \in \mathbb{Z}\), tad \(x^{3}+1\) dalās ar \(7\) un tātad (*) dalās ar \(7\).

Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(x^{8}-x^{2}\) dalās ar \(252\).

Piezīme. Dalāmību ar \(7\) var pierādīt, arī izmantojot Mazo Fermā teorēmu: "Ja \(p\) ir pirmskaitlis un \(a\) nedalās ar \(p\), tad \(a^{p-1}-1\) dalās ar \(p\)." Pārveidojam doto izteiksmi formā \(x^{8}-x^{2}=x^{2}\left(x^{6}-1\right)\). Ja \(x\) dalās ar \(7\), tad dotā izteiksme dalās ar \(7\). Ja \(x\) nedalās ar \(7\), tad \(\left(x^{6}-1\right)\) dalās ar \(7\) pēc Mazās Fermā teorēmas.