Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}+(x+1)^{3}=(x+3)^{3}+1\).
Atverot iekavas un savelkot līdzīgos saskaitāmos, iegūstam \(x^{3}-6x^{2}-24x=27\) jeb
\[x\left(x^{2}-6x-24\right)=27.\]
Tā kā \(x\) ir naturāls skaitlis, tad tam jābūt skaitļa \(27\) dalītājam. Apskatām visus iespējamos gadījumus. 1) Ja \(x=1\), tad \(1 \cdot\left(1^{2}-6 \cdot 1-24\right)=-29 \neq 27\) - neder. 2) Ja \(x=3\), tad \(3 \cdot\left(3^{2}-6 \cdot 3-24\right)=-99 \neq 27\) - neder. 3) Ja \(x=9\), tad \(9 \cdot\left(9^{2}-6 \cdot 9-24\right)=27\) - der. 4) Ja \(x=27\), tad \(27 \cdot\left(27^{2}-27 \cdot 3-24\right)=14661 \neq 27\) - neder. Esam ieguvuši, ka vienīgā derīgā vērtība ir \(x=9\).Apzīmējam \(y=x+2\). Tad doto vienādojumu var pārrakstīt kā
\[(y-2)^{3}+(y-1)^{3}=(y+1)^{3}+1\]
Atverot iekavas, iegūstam\[\begin{gathered} y^{3}-6y^{2}+12y-8+y^{3}-3y^{2}+3y-1=y^{3}+3y^{2}+3y+1+1 \\ y^{3}-12y^{2}+12y=11 \\ y\left(y^{2}-12y+12\right)=11 \end{gathered}\]
Tā kā \(y\) ir naturāls skaitlis, tad tam jābūt skaitļa \(11\) dalītājam. Skaitļa \(11\) vienīgie dalītāji ir \(1\) un \(11\). Apskatām abus gadījumus. 1) Ja \(y=1\), tad \(1 \cdot\left(1^{2}-12 \cdot 1+12\right)=1 \neq 11\). Tātad šī vērtība neder. 2) Ja \(y=11\), tad \(11 \cdot\left(11^{2}-12 \cdot 11+12\right)=11 \cdot(121-132+12)=11\). Šī vērtība der, tātad dotā vienādojuma atrisinājums ir \(x=y-2=11-2=9\). Esam ieguvuši, ka sākotnējā vienādojuma atrisinājums ir \(x=9\).