Pierādīt, ja no trim naturāliem skaitļiem \(n\); \(n+11\) un \(n+22\) divi ir pirmskaitļi, tad trešais skaitlis dalās ar \(6\).
Ja \(n=2\) (pirmskaitlis), tad \(n+11=13\) (pirmskaitlis) un \(n+22=24\) (dalās ar \(6\)).
Ja \(n=3\), tad \(n+11=14\) un \(n+22=25\). Šis gadījums neder, jo starp šiem skaitļiem ir tikai viens pirmskaitlis.
Jebkuru naturālu skaitli var uzrakstīt kādā no formām \(6k;\ 6k+1;\ 6k+2;\ 6k+3;\ 6k+4;\ 6k+5\), kur \(k=0,1,2, \ldots\) Ievērojam, ja \(k \in \mathbb{N}\), tad neviens no skaitļiem \(6k;\ 6k+2;\ 6k+3;\ 6k+4\) nav pirmskaitlis, jo dalās attiecīgi ar \(6;\ 2;\ 3;\ 2\). Tātad visi pirmskaitļi, kas lielāki nekā \(3\), ir nepāra skaitļi, kas izsakāmi formā \(6k+1\) vai \(6k+5\).
Ievērojam, ka skaitļiem \(n\) un \(n+22\) ir vienāda paritāte, tāpēc tikai tie vienlaicīgi var būt pirmskaitļi.
Aplūkojam abus iespējamos gadījumus.
1) Ja \(n=6k+1\), tad \(n+22=6k+23\), un, ja \(n\) un \(n+22\) abi ir pirmskaitļi, tad \(n+11=6k+12=6(k+2)\) dalās ar \(6\). 2) Ja \(n=6k+5\), tad \(n+22=6k+27=3(2k+9)\), kas nav pirmskaitlis.
Līdz ar to esam pierādījuši prasīto.