Naturālu skaitļu virknes \(1 ; 2 ; 2 ; 4 ; 8 ; 32 ; 48 ; \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2016.\) loceklis?
Virknes locekļus apzīmējam ar \(a_{i}\), kur \(i\) ir naturāls skaitlis. Aprēķinām nākamos virknes locekļus.
| \(i\) | \(a_{i}\) | \(a_{i}\) nenulles ciparu reizinājums |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) | \(2\) |
| \(3\) | \(2\) | \(2\) |
| \(4\) | \(4\) | \(4\) |
| \(5\) | \(8\) | \(8\) |
| \(6\) | \(32\) | \(6\) |
| \(7\) | \(48\) | \(32\) |
| \(8\) | \(192\) | \(18\) |
| \(9\) | \(576\) | \(210\) |
| \(10\) | \(3780\) | \(168\) |
| \(11\) | \(35280\) | \(240\) |
| \(12\) | \(40320\) | \(24\) |
| \(13\) | \(5760\) | \(210\) |
| \(14\) | \(5040\) | \(20\) |
| \(15\) | \(4200\) | \(8\) |
| \(16\) | \(160\) | \(6\) |
| \(17\) | \(48\) | \(32\) |
| \(18\) | \(192\) | \(18\) |
Katrs virknes loceklis, sākot ar trešo, ir viennozīmīgi noteikts ar diviem iepriekšējiem. Tā kā virknes septītais un astotais loceklis ir attiecīgi \(48\) un \(192\), un arī \(17.\) un \(18.\) loceklis ir attiecīgi \(48\) un \(192\), tad virkne, sākot ar \(7.\) locekli, ir periodiska ar perioda garumu \(10.\) Tā kā \(2016=6+10 \cdot 201\), tad \(a_{2016}=a_{16}=160\).