Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!
Izmantojot aritmētiskās progresijas definīciju, izsakām \(B=A+d, C=A+2d, D=A+3d\), kur \(d\)- aritmētiskās progresijas diference.
Apskatām summu
\[\begin{gathered} A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}=A^{2}+2(A+d)^{2}+3(A+2d)^{2}+4(A+3d)^{2}= \\ =A^{2}+2\left(A^{2}+2Ad+d^{2}\right)+3\left(A^{2}+4Ad+4d^{2}\right)+4\left(A^{2}+6Ad+9d^{2}\right)= \\ =10A^{2}+40Ad+50d^{2}=\left(9A^{2}+42Ad+49d^{2}\right)+\left(A^{2}-2Ad+d^{2}\right)= \\ =(3A+7d)^{2}+(A-d)^{2} \end{gathered}\]
Tā kā \(A, B, C, D\) ir veseli skaitļi (tātad arī \(d\) ir vesels skaitlis), tad summa \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) ir izteikta kā divu veselu skaitļu kvadrātu summa.